$\Delta ABC$ 中，$AB=30,BC=32,AC=34$ 。 $X$ 在边 $BC$ 上且不与端点重合，${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABX,\Delta ACX$ 的内切圆圆心。当 $X$ 在 $BC$ 上移动时，求 $\Delta A{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ 面积的最小值
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
126
【解析】
首先注意到 $\angle {{I}_{1}}A{{I}_{2}}=\angle {{I}_{1}}AX+\angle XA{{I}_{2}}=\frac{\angle BAX}{2}+\frac{\angle CAX}{2}=\frac{\angle A}{2}$ 是与 $X$ 无关的常数。因为 $\left[A{{I}_{1}}{{I}_{2}} \right]=\frac{1}{2}\left( A{{I}_{1}} \right)\left(A{{I}_{2}} \right)\sin \angle {{I}_{1}}A{{I}_{2}}$，所以我们只需使 $A{{I}_{1}}\cdot A{{I}_{2}}$ 最小。设 $a=BC,b=AC,c=AB,\alpha =\angle AXB$ 。 $\angle A{{I}_{1}}B={{180}^{{}^\circ }}-\left( \angle {{I}_{1}}AB+\angle {{I}_{1}}BA\right)={{90}^{{}^\circ }}+\frac{\alpha }{2}$ 。在 $\Delta AB{{I}_{1}}$ 中，由正弦定理 $\frac{A{{I}_{1}}}{AB}=\frac{\sin\angle AB{{I}_{1}}}{\sin \angle A{{I}_{1}}B}\Rightarrow A{{I}_{1}}=\frac{c\sin\frac{B}{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$ 。同理可得 $A{{I}_{2}}\text{=}\frac{b\sin\frac{C}{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$，于是 $\left[ A{{I}_{1}}{{I}_{2}}\right]\text{=}\frac{bc\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}{2\cos\frac{\alpha }{2}\sin \frac{\alpha }{2}}\text{=}\frac{bc\sin \frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}{\sin \alpha }\geqslant bc\sin \frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$，等号成立时 $\alpha \text{=}{{90}^{{}^\circ }}$ 即 $X$ 为过 $A$ 到 $BC$ 的垂足。于是所求面积为 $bc\sin\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ 。注意到 $\sin\frac{A}{2}\text{=}\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\text{=}\sqrt{\frac{1-\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}}{2}}\text{=}\sqrt{\frac{\left(a-b+c \right)\left( a+b-c \right)}{4bc}}$，同理可得到 $\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$，$bc\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\text{=}bc\cdot \frac{\left( a-b+c \right)\left( b-c+a \right)\left(c-a+b \right)}{8abc}=\frac{\left( 30-32+34 \right)\left( 32-34+30 \right)\left(34-30+32 \right)}{8\cdot 32}=126$
答案
解析
备注
