Misha不断扔一枚标准均匀的 $6$ 面骰子直到她连续依次扔出 $1,2,3$ 。她扔骰子总次数为奇数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
647
【解析】
令 ${{P}_{odd}}\text{=}\frac{m}{n}$，则 ${{P}_{even}}\text{=}1-\frac{m}{n}$ 。 ${{P}_{odd}}\text{=}{{P}_{3}}+{{P}_{5}}+{{P}_{7}}+\cdots\text{,}{{P}_{even}}\text{=}{{P}_{4}}+{{P}_{6}}+{{P}_{8}}+\cdots $ 。因为连续扔 $1-2-3$ 的概率为 $\frac{1}{216}$ 即 ${{P}_{3}}\text{=}\frac{1}{216}$ 。 $\frac{{{P}_{4}}+{{P}_{6}}+{{P}_{8}}+\cdots}{{{P}_{5}}+{{P}_{7}}+{{P}_{9}}+\cdots}\text{=}\frac{{{P}_{odd}}}{{{P}_{even}}}$，因为此时第一次扔出的结果不影响。 ${{P}_{5}}+{{P}_{7}}+{{P}_{9}}+\cdots\text{=}{{P}_{odd}}-{{P}_{3}}\text{=}{{P}_{odd}}-\frac{1}{216}$，$\frac{{{P}_{even}}}{{{P}_{odd}}-\frac{1}{216}}\text{=}\frac{{{P}_{odd}}}{{{P}_{even}}}$ 。所以 ${{P}_{odd}}\text{=}\frac{m}{n}\text{=}\frac{216}{431}\Rightarrow m+n\text{=}647$
答案
解析
备注
