一个正六棱柱的高为 $2$，其底面为边长为 $1$ 的正六边形。求由该正六棱柱的 $12$ 个顶点构成的所有三角形中等腰三角形（包含等边三角形）的个数
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
052
【解析】
我们可以分两类情况：三个顶点在同个底面上和在两个底面上。第一种情况下，我们设其中一个顶点为 $A$，三角形的三边可能为 $1\text{,}1\text{,}\sqrt{3}$ 和 $2\text{,}2\text{,}2$ 。一共有 $2\cdot\left( 2+6 \right)\text{=}16$ 个。第二种情况下，设在另一底面的点为 $X$，设在另一底面上最近的点为 $B$，并逆时针将该底面剩余点依此标为 $C,D,E,F,G$ 。满足条件的有 $XGG,XDF,XBE$ $3$ 个。因为 $X$ 有 $6$ 种选择，且可以选择在顶面或底面，所以一共有 $6\cdot2\cdot 3=36$ 个。故一共有 $16+36=052$
答案
解析
备注
