David做了四根长度不同的木棍，这四根木棍可以做出 $3$ 个互不全等的四顶点共圆的凸四边形 $A,B,C$，这三个四边形外接圆半径均为 $1$ 。记 ${{\varphi }_{A}}$ 为四边形 $A$ 对角线构成的锐角的角度，${{\varphi }_{B}},{{\varphi }_{C}}$ 同理定义。已知 $\sin {{\varphi }_{A}}=\frac{2}{3},\sin {{\varphi }_{B}}=\frac{3}{5},\sin {{\varphi }_{C}}=\frac{6}{7}$，且 $A,B,C$ 面积均为 $K$ 。 $K$ 可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
059
【解析】
设四条边对应的圆心角为 $2a\text{,}2b\text{,}2c\text{,}2d$，则 $a+b+c+d\text{=}{{180}^{{}^\circ}}$ 。 ${{\varphi }_{A}}\text{=}a+c\text{,}{{\varphi}_{B}}\text{=}a+b\text{,}{{\varphi }_{C}}\text{=}a+d$ 。设构成的一个四边形为 $ABCD$，由正弦定理 $AC\text{=}2\sin\left( a+b \right)\text{,}BD\text{=}2\sin \left( a+d \right)$ 。因此 $K\text{=}\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \left( {{\varphi }_{A}} \right)=2\sin {{\varphi }_{A}}\sin{{\varphi }_{B}}\sin {{\varphi }_{C}}\text{=}\frac{24}{35}$，所求值为 $24+35\text{=}059$
答案
解析
备注
