对 $U\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}\cdots \text{,}18 \right\}$ 的每个子集 $T$，$s\left( T \right)$ 是其所有元素之和，并且定义 $s\left( 0 \right)\text{=}0$ 。从 $U$ 的所有子集中随机选取子集 $T$，$s\left( T \right)$ 是 $3$ 的倍数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,n}$ 是互质的正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
683
【解析】
1．将集合 $\bmod3$ 之后得到 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}0\text{,}1\text{,}2\text{,}0\text{,}\cdots\text{,}1\text{,}2\text{,}0 \right\}$，我们可以忽略“$0$”，只讨论 $T$ 包含的“$1$”和“$2$”的个数
1．$0$ 个 $1$，$0$ 个 $2$：$1$ 种
2．$222$：$20$ 种
3．$222222$：$1$ 种
4．$12$：$6*6\text{=}36$ 种
5．$12222$：$6*15\text{=}90$ 种
6．$1122$：$15*15\text{=}225$ 种
7．$1122222$：$15*6\text{=}90$ 种
8．$111$：$20$ 种
9．$111222$：$20*20\text{=}400$ 种
10．$111222222$：$20$ 种
11．$11112$：$15*6\text{=}90$ 种
12．$11112222$：$15*15\text{=}225$ 种
13．$1111122$：$6*15\text{=}90$ 种
14．$1111122222$：$6*6\text{=}36$ 种
15．$111111$：$1$ 种
16．$111111222$：$20$ 种
17．$111111222222$：$1$ 种
故一共有 $1+20+1+36+90+225+90+20+400+20+90+225+90+36+1+20+1\text{=}1366$ 种。所求概率为 $P\text{=}\frac{1366}{{{2}^{12}}}\text{=}\frac{683}{{{2}^{11}}}$，所求值为 $683$ 。
1．$0$ 个 $1$，$0$ 个 $2$：$1$ 种
2．$222$：$20$ 种
3．$222222$：$1$ 种
4．$12$：$6*6\text{=}36$ 种
5．$12222$：$6*15\text{=}90$ 种
6．$1122$：$15*15\text{=}225$ 种
7．$1122222$：$15*6\text{=}90$ 种
8．$111$：$20$ 种
9．$111222$：$20*20\text{=}400$ 种
10．$111222222$：$20$ 种
11．$11112$：$15*6\text{=}90$ 种
12．$11112222$：$15*15\text{=}225$ 种
13．$1111122$：$6*15\text{=}90$ 种
14．$1111122222$：$6*6\text{=}36$ 种
15．$111111$：$1$ 种
16．$111111222$：$20$ 种
17．$111111222222$：$1$ 种
故一共有 $1+20+1+36+90+225+90+20+400+20+90+225+90+36+1+20+1\text{=}1366$ 种。所求概率为 $P\text{=}\frac{1366}{{{2}^{12}}}\text{=}\frac{683}{{{2}^{11}}}$，所求值为 $683$ 。
答案
解析
备注
