求集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}\cdots \text{,}20 \right\}$ 满足下述条件的四元子集的个数：其中两个不同元素之和为 $16$，另两个不同元素之和为 $24$ 。例如，$\left\{ 3\text{,}5\text{,}13\text{,}19 \right\},\left\{ 6\text{,}10\text{,20,18} \right\}$ 均为满足条件的子集
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
210
【解析】
我们设四元子集为 $\left\{a\text{,}b\text{,}c\text{,}d \right\}$ 。 $a+b\text{=}16\text{,}c+d\text{=}24$ 或 $a+b=16,a+c=24$ 。不难发现上述两种情形没有重复的情况。第一种情况下，$\left\{a\text{,}b \right\}\text{=}\left\{ 1\text{,}15 \right\}\text{,}\left\{2\text{,}14 \right\}\text{,}\cdots \text{,}\left\{ 7\text{,}9 \right\}$，$\left\{c\text{,}d \right\}\text{=}\left\{ 4\text{,}20 \right\}\text{,}\left\{5\text{,}19 \right\}\text{,}\cdots \text{,}\left\{ 11\text{,}13 \right\}$ 。刨去数重复出现的情况，一共有 $7\cdot8-10=46$ 个。第二种情况下，我们从 $a\text{=}5$ 到 $a\text{=}15$ 依此讨论，除去 $a\text{=}8\text{,}12$ 的情况。刨去重复情况得到 $10\cdot17-6\text{=}164$
故一共有 $46+164\text{=}210$ 个满足条件的子集
故一共有 $46+164\text{=}210$ 个满足条件的子集
答案
解析
备注
