三角形 $ABC$，$AB=9,BC=5\sqrt{3},AC=12$ 。点列 $A={{P}_{0}},{{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{2450}}=B$ 在线段 $AB$ 上，其中对 $k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$，${{P}_{k}}$ 在 ${{P}_{k-1}}\text{,}{{P}_{k+1}}$ 之间。点列 $A={{Q}_{0}},{{Q}_{1}},{{Q}_{2}},\cdots ,{{Q}_{2450}}=C$ 在边 $AC$ 上，其中对 $k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$，${{Q}_{k}}$ 在 ${{Q}_{k-1}},{{Q}_{k+1}}$ 之间。线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$，$k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$ 与 $BC$ 平行。这些平行线段将三角形划分为 $2450$ 个面积相等的区域，其中 $2449$ 个为梯形，$1$ 个为三角形。求长度为有理数的线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$（$k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$）的个数
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
020
【解析】
令 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}\text{=}{{d}_{k}}$，则上下底边分别为 ${{P}_{k-1}}{{Q}_{k-1}}\text{,}{{P}_{k}}{{Q}_{k}}$ 的梯形的面积为 $\left[{{\left( \frac{{{d}_{k}}}{5\sqrt{3}} \right)}^{2}}-{{\left(\frac{{{d}_{k-1}}}{5\sqrt{3}} \right)}^{2}} \right]S\Delta ABC\text{=}\frac{d_{k}^{2}-d_{k-1}^{2}}{75}S\Delta ABC$ 。又因为每个梯形的面积为 $\frac{1}{2450}S\Delta ABC$ 。于是 $\frac{d_{k}^{2}-d_{k-1}^{2}}{75}\text{=}\frac{1}{2450}\Rightarrow d_{k}^{2}-d_{k-1}^{2}\text{=}\frac{3}{98}$ 。因为 $d_{0}^{2}\text{=}0\text{,}d_{1}^{2}\text{=}\frac{3}{98}\Rightarrow d_{k}^{2}\text{=}\frac{3k}{98}$ 。所以是使得 ${{d}_{k}}$ 为有理数的最小的 $k$ 是 $6$，故当且仅当 $k\text{=}6{{n}^{2}}\text{,}n\in\mathbb{N}$ 时，${{d}_{k}}$ 为有理数。 $6{{n}^{2}}\leqslant 2450\Rightarrow n\leqslant 20$ 故共有 $020$ 个满足条件的 $k$
答案
解析
备注
