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八边形 $ABCDEFGH$ 是从 $23\times 27$ 的矩形的四个角各去掉边长为 $6-8-10$ 的直角三角形得到的，其中 $AH$ 在矩形的短边上，$AB=CD=EF=GH=10,BC=DE=FG=HA=11$ 。 $J$ 为 $AH$ 中点，作线段 $JB,JC,JD,JE,JF,JG$ 将八边形划分为 $7$ 三角形。求以这七个三角形重心为顶点的凸多边形的面积。
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
【答案】
184
【解析】
我们建立平面直角坐标系，使得 $A=\left(0,-6 \right),B=\left( 8,0 \right),C=\left( 19,0 \right),D=\left( 27,-6\right),E=\left( 27,17 \right),F=\left( 19,-23 \right),G=\left( 8,-23\right),H=\left( 0,-17 \right),J=\left( 0,-\frac{23}{2} \right)$ $\Delta JAB,\Delta JBC,\Delta JCD,\Delta JDE$ 的重心分别为 $\left( \frac{8}{3},-\frac{35}{6}\right),\left( 9,-\frac{23}{6} \right),\left( \frac{46}{3},-\frac{35}{6}\right),\left( 18,-\frac{23}{2} \right)$ 。所求面积为
$\begin{matrix}
& \left| \left( \frac{8}{3}\cdot \left(-\frac{23}{6} \right)+9\cdot \left( -\frac{35}{6} \right)+\frac{46}{3}\cdot\left( -\frac{23}{2} \right)+18\cdot \left( -\frac{23}{2}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left( -\frac{35}{6} \right) \right)-\left( \left(-\frac{35}{6}\cdot 9 \right)+\left( -\frac{23}{6}\cdot \frac{46}{3}\right)+\left( -\frac{35}{6}\cdot 18 \right)+\left( -\frac{23}{2}\cdot\frac{8}{3} \right)+\left( -\frac{23}{2}\cdot \frac{8}{3} \right) \right)\right| \\
& =\left| \left(-\frac{92}{9}-\frac{105}{2}-\frac{529}{3}-207-\frac{140}{9} \right)-\left(-\frac{105}{2}-\frac{529}{9}-105-\frac{92}{3}-\frac{92}{3} \right) \right| \\
& =\left|-\frac{232}{9}-\frac{1373}{6}-207+\frac{529}{9}+\frac{184}{3}+105+\frac{105}{2}\right| \\
& =\left| -184 \right| \\
& \equiv 184 \\
\end{matrix}$
答案 解析 备注
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