三角形 $\Delta ABC$ 的内切圆 $\omega $ 与 $BC$ 相切于 $X$ 。 $Y$ 为 $AX$ 与圆 $\omega $ 的另一交点。 $P,Q$ 分别在 $AB,AC$ 上，使得 $PQ$ 与圆 $\omega $ 相切于 $Y$ 。已知 $AP=3,PB=4,AC=8$，则 $AQ=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
227
【解析】
设 $AB,AC$ 上的切点为 $Z,W$ 。设 $\angle BAX=\alpha \text{,}\angle AXC\text{=}\beta $ 。因为 $PQ,BC$ 均与 $\omega $ 相切且 $\angle YXC,\angle QYX$ 对应同一段圆弧，所以 $\angle AYP=\angle QYX=\angle YXC=\beta $ 。 $PZ=PY$ 。在 $\Delta APY$ 中由正弦定理可得到，$\frac{AZ}{AP}=1+\frac{ZP}{AP}=1+\frac{PY}{AP}=1+\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$ 。类似的在 $\Delta ABX$ 中可得到 $\frac{AZ}{AB}=1-\frac{BZ}{AB}=1-\frac{BX}{AB}=1-\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$ 。 $2\text{=}\frac{AZ}{AP}+\frac{AZ}{AB}=\frac{AZ}{3}+\frac{AZ}{7}$，所以 $AZ=\frac{21}{5}$ 。对 $\Delta AQY$ 作上述分析可得到 $2\text{=}\frac{AW}{AQ}+\frac{AW}{AC}=\frac{AZ}{AQ}+\frac{AZ}{AC}=\frac{21}{5}\left(\frac{1}{AQ}+\frac{1}{8} \right)\Rightarrow AQ=\frac{168}{59}$ 。所求值为 $168+59=227$
答案
解析
备注
