求最小的正整数 $n$ 使得 ${{3}^{n}}$ 在 $143$ 进制下的末两位数字为 $01$ 。
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
195
【解析】
条件等价于 ${{3}^{n}}\equiv1\left( \bmod {{143}^{2}} \right)\text{,}143\text{=}11\cdot 13$ 。因为 $\left({{11}^{2}}\text{,}{{13}^{2}} \right)\text{=}1$，所以 ${{3}^{n}}\equiv 1\left( \bmod121 \right)\text{,}{{3}^{n}}\equiv 1\left( \bmod 169 \right)$ 。如果 ${{3}^{n}}\equiv1\left( \bmod 121 \right)$，根据数列 $1\text{,}3\text{,}9\text{,}27\text{,}81\text{,}1\text{,}3\text{,}9\text{,}\cdots$ 得到 $\left. 5 \right|n$ 。如果 ${{3}^{n}}\equiv 1\left( \bmod 169 \right)$，注意到 ${{3}^{n}}\equiv1\left( \bmod 13 \right)$，因此 $\left. 3 \right|n$，存在 $a$ 使得 ${{3}^{n}}\text{=}\left(13a+1 \right)$，我们下面找到最小的 ${{p}_{1}}$，使得 ${{\left( 13a+1\right)}^{{{p}_{1}}}}\equiv 1\left( \bmod 169 \right)$ 。所以 $\left. 169\right|13\cdot {{p}_{1}}\cdot a\Rightarrow {{p}_{1}}=13$ 。所以 ${{3}^{39}}\equiv1\left( \bmod 169 \right)$，$\left. 39 \right|n$ 。所以满足条件的最小的 $n\text{=}5\cdot39=195$
答案
解析
备注
