前14个正整数组成一个集合 $\left| 1, 2,3, \ldots ,14 \right|$．此集合的符合如下条件的子集的数目为 $m$：子集均含有5个元素，且这5个元素至少有两个是连续的，求 $m$ 除以 $1000$ 的余数．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
750
【解析】
设 $S=\left\{ 1, 2, 3 ,\ldots, 14 \right\}$，从 $S$ 中取出5个不同的元素的方法数为 $A$，从 $S$ 中取出5个不同元素且这5个元素没有两个是连续的方法数为 $B$，则 $m-A-B$．因 $A=C_{14}^{5}$，故问题转化为求 $B$．
考虑自然数 $1\leqslant {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}\le14$，如果它们中没有两个是连续的，则 ${{b}_{1}}={{a}_{1}}$，${{b}_{2}}={{a}_{2}}-1$，${{b}_{3}}={{a}_{3}}-2$，${{b}_{4}}={{a}_{4}}-3$，${{b}_{5}}={{a}_{5}}-4$ 是区间 $\left[ 1 10 \right]$ 中互不相同的5个数．相反，若 ${{b}_{1}}<{{b}_{2}}<{{b}_{3}}<{{b}_{4}}<{{b}_{5}}$，则 ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$，${{a}_{2}}={{b}_{2}}\text{+}1$，${{a}_{3}}={{b}_{3}}+2$，${{a}_{4}}={{b}_{4}}+3$，${{a}_{5}}={{b}_{5}}+4$ 属于区间 $\left[ 1 14 \right]$，且它们中没有两个数将是连续的．因此，$B$ 相当于从前10个正整数中取出5个不同的数的方法数，故 $B=C_{10}^{5}$．
因此，$m=A-B=C_{14}^{5}-C_{10}^{5}=2002-252=1750$，故所求结果为750．
考虑自然数 $1\leqslant {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}\le14$，如果它们中没有两个是连续的，则 ${{b}_{1}}={{a}_{1}}$，${{b}_{2}}={{a}_{2}}-1$，${{b}_{3}}={{a}_{3}}-2$，${{b}_{4}}={{a}_{4}}-3$，${{b}_{5}}={{a}_{5}}-4$ 是区间 $\left[ 1 10 \right]$ 中互不相同的5个数．相反，若 ${{b}_{1}}<{{b}_{2}}<{{b}_{3}}<{{b}_{4}}<{{b}_{5}}$，则 ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$，${{a}_{2}}={{b}_{2}}\text{+}1$，${{a}_{3}}={{b}_{3}}+2$，${{a}_{4}}={{b}_{4}}+3$，${{a}_{5}}={{b}_{5}}+4$ 属于区间 $\left[ 1 14 \right]$，且它们中没有两个数将是连续的．因此，$B$ 相当于从前10个正整数中取出5个不同的数的方法数，故 $B=C_{10}^{5}$．
因此，$m=A-B=C_{14}^{5}-C_{10}^{5}=2002-252=1750$，故所求结果为750．
答案
解析
备注
