有多少个小于1000的正整数 $N$ 使得方程 ${{x}^{\left[ x \right]}}=N$ 有解（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）？
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
412
【解析】
对于正整数 $k$、考虑当 $\left[ x \right]=k$ 时方程 ${{x}^{\left[ x \right]}}=N$ 有解的 $N$ 的个数．这时 $x=\sqrt[k]{N}$，由于 $k\leqslant xk+1$，故 ${{k}^{k}}\leqslant {{x}^{k}}=N\leqslant {{\left( k+1\right)}^{k}}-1$，因此，存在 ${{\left(k+1 \right)}^{k}}-{{k}^{k}}$ 个可能的 $N$ 使得 ${{x}^{k}}=N$ 有解．因 ${{5}^{4}}1000$ 且 ${{5}^{5}}1000$，故所求的满足条件的 $N$ 的个数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{4}{\left[ {{\left( k+1\right)}^{k}}-{{k}^{k}} \right]}=1+5+37+369=412$．
答案
解析
备注
