四座灯塔分别位于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点处，灯塔 $A$ 与灯塔 $B$ 相距 $5\text{km}$ 灯塔 $B$ 与灯塔 $C$ 相距 $12\text{km}$，灯塔 $A$ 与灯塔 $C$ 相距 $13\text{km}$．对灯塔 $A$ 处的观测者而言，灯塔 $B$，$D$ 所成的夹角与灯塔 $C$，$D$ 所成的夹角相等（即 $\angle BAD=\angle CAD$）；对灯塔 $C$ 处的观测者而言，灯塔 $A$，$B$ 所成的夹角与灯塔 $D$，$B$ 所成的夹角相等（即 $\angle ACB=\angle DCB$）．若灯塔 $A$ 与灯塔 $D$ 之间的距离为 $\frac{p\sqrt{r}}{q}\text{km}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，$r$ 不被任何素数的平方整除，求 $p+q+r$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
96
【解析】
延长 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $E$．由于 $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=25+144=169=A{{C}^{2}}$，故 $AB\bot BC$．由此及 $\angle ACB=\angle BCD=\angle BCE$ 可知 $\vartriangle ACE$ 为等腰三角形，故 $CD=AC=13$．在 $\vartriangle ACE$ 中，$AD$ 是 $\angle CAE$ 的平分线，故由角平分线性质定理知 $\frac{DE}{CD}=\frac{AE}{AC}=\frac{2AB}{AC}=\frac{10}{13}$，再结合 $CD+DE\text{=}CD=13$ 可得 $CD=\frac{169}{23}$，$DE=\frac{130}{23}$．因此由角平分线长度公式得
$A{{D}^{2}}=AE\cdot AC-DE\cdot DC=130-130\cdot\frac{169}{529}=\frac{130\cdot 360}{529}$．故 $AD=\sqrt{\frac{130\cdot360}{529}}=\frac{60\sqrt{13}}{23}$．
$A{{D}^{2}}=AE\cdot AC-DE\cdot DC=130-130\cdot\frac{169}{529}=\frac{130\cdot 360}{529}$．故 $AD=\sqrt{\frac{130\cdot360}{529}}=\frac{60\sqrt{13}}{23}$．
答案
解析
备注
