每年一届的行星数学邀请赛由5名火星人、5名金星人、5名地球人组成的委员会命题．开会时，委员会成员围着配有15张椅子并顺时针编号 $1\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }15$ 的圆桌坐下．委员会的规则要求1号椅子必须坐火星人，15号椅子必须坐地球人，且地球人不能坐在火星人的左邻，火星人不能坐在金星人的左邻，金星人不能坐在地球人的左邻．委员会安排座位的所有可能的方法总数是 $N\cdot {{\left( 5! \right)}^{3}}$，求 $N$ 。
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
346
【解析】
将来自同一个行星的5名委员分到一组，共三个小组，则每一种符合要求的安排座位的方法可按两步完成：第一步，根据委员会的规则把座位分给每个行星组；第二步，每个行星组自己内部安排委员的座位．因为每个行星组内部安排座位有5！种方法，故完成第二步共有 ${{\left(5 \right)}^{3}}$ 种方法．因此，$N$ 是完成第一步的方法总数．
按圆桌的顺时针方向，座位分布是火星人挨着金星人，金星人挨着地球人，地球人挨着火星人．因此，把座位分给行星组的方法数应一一对应于如下的正整数序列：
${{m}_{1}},{{v}_{1}},{{e}_{1}} ,\ldots ,{{m}_{k}} ,{{v}_{k}} ,{{e}_{k}} 1\leqslant k\leqslant 5 $
其中 ${{m}_{1}}+\ldots+{{m}_{k}}={{v}_{1}}+\ldots +{{v}_{k}}={{e}_{1}}+\ldots {{e}_{k}}=5$．
对于每一个 $k$，满足 ${{m}_{1}}+\ldots+{{m}_{k}}=5$ 的 $k$ 元数组 $\left({{m}_{1}} ,\ldots ,{{m}_{k}} \right)$ 的个数为 $C_{4}^{k-1}$．同理，分别满足 ${{v}_{1}}+\ldots+{{v}_{k}}=5$ 和 ${{e}_{1}}+\ldots+ek=5$ 的 $k$ 元数组 $\left({{v}_{1}} ,\ldots ,vk \right)$ 及 $\left( {{e}_{1}} ,\ldots, ek \right)$ 的个数也都为 $C_{4}^{k-1}$．因此，把座位分给每个行星组的所有的方法总数为
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{5}{{{\left(C_{4}^{k-1}\right)}^{3}}={{1}^{3}}+{{4}^{3}}+{{6}^{3}}+{{4}^{3}}+{{1}^{3}}=346}$．
按圆桌的顺时针方向，座位分布是火星人挨着金星人，金星人挨着地球人，地球人挨着火星人．因此，把座位分给行星组的方法数应一一对应于如下的正整数序列：
${{m}_{1}},{{v}_{1}},{{e}_{1}} ,\ldots ,{{m}_{k}} ,{{v}_{k}} ,{{e}_{k}} 1\leqslant k\leqslant 5 $
其中 ${{m}_{1}}+\ldots+{{m}_{k}}={{v}_{1}}+\ldots +{{v}_{k}}={{e}_{1}}+\ldots {{e}_{k}}=5$．
对于每一个 $k$，满足 ${{m}_{1}}+\ldots+{{m}_{k}}=5$ 的 $k$ 元数组 $\left({{m}_{1}} ,\ldots ,{{m}_{k}} \right)$ 的个数为 $C_{4}^{k-1}$．同理，分别满足 ${{v}_{1}}+\ldots+{{v}_{k}}=5$ 和 ${{e}_{1}}+\ldots+ek=5$ 的 $k$ 元数组 $\left({{v}_{1}} ,\ldots ,vk \right)$ 及 $\left( {{e}_{1}} ,\ldots, ek \right)$ 的个数也都为 $C_{4}^{k-1}$．因此，把座位分给每个行星组的所有的方法总数为
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{5}{{{\left(C_{4}^{k-1}\right)}^{3}}={{1}^{3}}+{{4}^{3}}+{{6}^{3}}+{{4}^{3}}+{{1}^{3}}=346}$．
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备注
