等边三角形 $T$ 内接于半径为10的圆 $A$，半径为3的圆 $B$ 与圆 $A$ 内切三角形 $T$ 的一个顶点处，半径都为2的圆 $C$ 和圆 $D$ 与圆 $A$ 内切于三角形 $T$ 的另外两个顶点处，圆 $B$、圆 $C$ 和圆 $D$ 都与半径为 $\frac{m}{n}$ 的圆 $E$ 外切，其中 $m$，$n$ 是互素的整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
32
【解析】
如图所示，设圆 $B$，$C$，$D$ 分别与圆 $A$ 相切于点 $X$，$Y$，$Z$，圆 $E$ 的半径为 $r$．因为圆 $C$ 和圆 $D$ 是等圆，故点 $E$ 位于圆 $A$ 的过点 $X$ 的直径上，注意到 $AC=8$，$AE\text{=}r-4$，$CE=r+2$ 且 $\angle CAE={{60}^{\circ }}$，由余弦定理可知，${{\left( r-4 \right)}^{2}}+{{8}^{2}}-2\left( r-4\right)\cdot 8\cdot \cos {{60}^{\circ }}\text{=}{{\left( r+2 \right)}^{2}}$．展开并整理，可求出 $r=\frac{27}{5}$．故 $m+n=27+5=32$．
答案
解析
备注
