数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{0}}=1$ 且 ${{a}_{n\text{+}1}}\text{=}\frac{8}{5}{{a}_{n}}+\frac{6}{5}\sqrt{{{4}^{n}}-a_{n}^{2}}$ 对所有的 $n\geqslant 0$ 均成立．求小于等于 ${{a}_{10}}$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
983
【解析】
递推公式等价于 ${{a}_{n+1}}=2\left(\frac{4}{5}{{a}_{n}}+\frac{3}{5}\sqrt{{{4}^{n}}-a_{n}^{2}} \right)$，故若设 ${{a}_{n}}={{2}^{n}}\sin{{\alpha }_{n}}$，则其类似于三角的和角公式．设 $\theta =\arcsin \frac{3}{5}$，则 $\cos\theta =\frac{4}{5}$ 且
${{a}_{n+1}}=2\left( {{2}^{n}}\cos \theta \sin \alpha+\sin \theta \sqrt{{{4}^{n}}\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right)} \right)$
$=\left\{ \begin{align}
&{{2}^{n+1}}\sin \left( \alpha +\theta \right) \cos \alpha 0 \\
&{{2}^{n+1}}\sin \left( \alpha -\theta \right) \cos \alpha 0 . \\
\end{align} \right.$
因 $\cos{{45}^{\circ }}\frac{5}{4}\cos {{30}^{\circ }}$，故 ${{30}^{\circ }}\theta {{45}^{\circ }}$，于是角 ${{\alpha}_{n}}$ 一开始每次增加 $\theta$ 直到 $3\theta$ 为止，此后将在值 $2\theta$ 在 $3\theta$ 上摆动．故
${{a}_{n}}=\left\{ \begin{align}
&{{2}^{n}}\sin n\theta n=0 1 2 \\
&{{2}^{n}}\sin n\theta n2. \\
&{{2}^{n}}\sin n\theta n1. \\
\end{align} \right.$
因此 ${{a}_{10}}={{2}^{10}}\sin2\theta =1024\cdot \frac{24}{25}=\frac{24576}{25}=983\frac{1}{25}$，故所求的结果为 $983$．
${{a}_{n+1}}=2\left( {{2}^{n}}\cos \theta \sin \alpha+\sin \theta \sqrt{{{4}^{n}}\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right)} \right)$
$=\left\{ \begin{align}
&{{2}^{n+1}}\sin \left( \alpha +\theta \right) \cos \alpha 0 \\
&{{2}^{n+1}}\sin \left( \alpha -\theta \right) \cos \alpha 0 . \\
\end{align} \right.$
因 $\cos{{45}^{\circ }}\frac{5}{4}\cos {{30}^{\circ }}$，故 ${{30}^{\circ }}\theta {{45}^{\circ }}$，于是角 ${{\alpha}_{n}}$ 一开始每次增加 $\theta$ 直到 $3\theta$ 为止，此后将在值 $2\theta$ 在 $3\theta$ 上摆动．故
${{a}_{n}}=\left\{ \begin{align}
&{{2}^{n}}\sin n\theta n=0 1 2 \\
&{{2}^{n}}\sin n\theta n2. \\
&{{2}^{n}}\sin n\theta n1. \\
\end{align} \right.$
因此 ${{a}_{10}}={{2}^{10}}\sin2\theta =1024\cdot \frac{24}{25}=\frac{24576}{25}=983\frac{1}{25}$，故所求的结果为 $983$．
答案
解析
备注
