一项比赛给参赛者提供 $A$，$B$，$C$ 三项奖金，每项奖金的数额是 $1\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }9999$ 美元之间的整数（包括1美元和9999美元，不同项目的奖金数额可能相等）．参赛者必须依次猜出 $A$，$B$，$C$ 三项奖金的数额才可获奖．作为提示，三项奖金所包含的所有数字会被给出．某一天给出的提示数字是1，1，1，1，3，3，3．请根据提示的数字，求出三项奖金数额的所有可能情形的总数．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
420
【解析】
给定的7个数字的所有可能的排序的个数为 $\frac{7!}{4!\cdot3!}=35$．这35个排序对应于35个七位数，而每一个七位数又可以通过再分以表示人 $A$，$B$，$C$ 三项奖金的不同猜法，因此，对于给定一种排序，它的所有奖金的情形数相当于把一个七位数分成为三个数且它们的数字都不多于四位的方法数．通过再分得到的三个数可能的长度是 $1\left|2 \right|4 2\left| 2 \right|3 1\left| 3 \right|3$，以及它们的排列．第一种分法有6种排列方法，而第二和第三种分法都只有3种排列方法，故每个七位数共有12种分法．因此，所有可能的奖金情形总数为 $35\cdot 12\text{=}420$．
答案
解析
备注
