对某一特定的正整数组 $\left( m, n \right)$（其中 $m\geqslant n$），恰有50个不同的正整数 $k$ 使得 $\left| \log m-\log k \right|\log n$ 成立．求乘积 $mn$ 的所有可能值的和．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
125
【解析】
不等式 $\left| \log m-\log k \right|\log n$ 等价于 $-\log n<\log m<-\log k<\log n$，亦等价于
$\log \frac{m}{n}\log k\log mn$．设 $m=nq+r$，其中 $q$ 是正整数，$r$ 是整数且 $0\leqslant rn$，则不等式 $\log \frac{m}{n}\log k\log mn$ 变形为
$\log \left( q+\frac{r}{n} \right)\log k\log \left(n\left( nq+r \right) \right)$．
于是存在 $n\left( nq+r \right)-q-1$ 个可能的 $k$，即 $q+1$，$q+2$，…，$n\left( nq+r \right)-1$，使得不等式成立．由条件可知 $n\left( nq+r\right)-q-1=50$，即 $\left( {{n}^{2}}-1\right)q+nr=51$．而 $n$ 可能的值为 $2,3,…,7$，逐一试验知 $\left( n ,q ,r\right)$ 只可能为 $\left( \text{2} ,\text{17} ,0 \right)$ 和 $\left(\text{3}, \text{6}, \text{1} \right)$．因此，$\left( m ,n\right)=\left( 34, 2 \right)$ 或 $\left(19, 3 \right)$，从而 $mn=68$ 或 $ 57$，它们的和为 $ 125$．
$\log \frac{m}{n}\log k\log mn$．设 $m=nq+r$，其中 $q$ 是正整数，$r$ 是整数且 $0\leqslant rn$，则不等式 $\log \frac{m}{n}\log k\log mn$ 变形为
$\log \left( q+\frac{r}{n} \right)\log k\log \left(n\left( nq+r \right) \right)$．
于是存在 $n\left( nq+r \right)-q-1$ 个可能的 $k$，即 $q+1$，$q+2$，…，$n\left( nq+r \right)-1$，使得不等式成立．由条件可知 $n\left( nq+r\right)-q-1=50$，即 $\left( {{n}^{2}}-1\right)q+nr=51$．而 $n$ 可能的值为 $2,3,…,7$，逐一试验知 $\left( n ,q ,r\right)$ 只可能为 $\left( \text{2} ,\text{17} ,0 \right)$ 和 $\left(\text{3}, \text{6}, \text{1} \right)$．因此，$\left( m ,n\right)=\left( 34, 2 \right)$ 或 $\left(19, 3 \right)$，从而 $mn=68$ 或 $ 57$，它们的和为 $ 125$．
答案
解析
备注
