正整数数列 $\left\{ {{a}_{i}} \right\}$ 定义为 ${{a}_{n+2}}=\frac{{{a}_{n}}+2009}{1+{{a}_{n+1}}}\left( n\geqslant 1 \right)$．求 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
90
【解析】
由数列的定义知 ${{a}_{3}}\left( {{a}_{2}}+1 \right)={{a}_{1}}+2009$，${{a}_{4}}\left( {{a}_{3}}+1 \right)={{a}_{2}}+2009$，${{a}_{5}}\left( {{a}_{4}}+1 \right)={{a}_{3}}+2009$，故 ${{a}_{3}}-{{a}_{1}}=\left({{a}_{3}}\text{+}1 \right)\left( {{a}_{4}}-{{a}_{2}} \right)$，${{a}_{4}}-{{a}_{2}}=\left( {{a}_{4}}+1 \right)\left({{a}_{5}}-{{a}_{3}} \right)$．若 ${{a}_{3}}-{{a}_{1}}\ne 0$，则 ${{a}_{4}}-{{a}_{2}}\ne 0$ 且 ${{a}_{5}}-{{a}_{3}}\ne 0$，于是可得 ${{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}\ne 0$．因 $\left| {{a}_{n+2}}+1 \right|\geqslant 2$，故 $0\left|{{a}_{n+3}}-{{a}_{n+1}} \right|=\frac{\left| {{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}\right|}{\left| {{a}_{n+2}}+1 \right|}\left| {{a}_{n+2}}-{{a}_{n}} \right|$，这样一定有 $\left|{{a}_{3}}-{{a}_{1}} \right|\left| {{a}_{4}}-{{a}_{2}} \right|\left|{{a}_{5}}-{{a}_{3}} \right|\ldots $ 将是一个压缩序列，这是不可能的．因此，${{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}=0$ 对所有的 $n\geqslant 1$ 成立，这就意味着数列 $\left| {{a}_{i}} \right|$ 中所有下标为奇数的项都相等，所有下标为偶数的项也相等．这样，只要 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$ 是整数，其他的项也为整数．由数列的定义得 ${{a}_{1}}={{a}_{3}}=\frac{{{a}_{1}}+2009}{{{a}_{2}}+1}$，故 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}=2009={{7}^{2}}\cdot41$．于是，当 $\left\{{{a}_{1}} {{a}_{2}} \right\}=\left\{ 41 49 \right\}$ 时，${{a}_{1}}\text{+}{{a}_{2}}$ 可取得最小值为90．
答案
解析
备注
