如果一个三位数的三个数字各不相同且从左到右是等比数列，就称其为“几何数”．求最大几何数与最小几何数的差．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
840
【解析】
已知几何数的三位数字成等比数列，于是，存在 $a$，$ar$ 使得这三位数的三个数字从左至右分别是 $a$，$ar$，$a{{r}^{2}}$．对于最大的几何数，一定有 $a\leqslant 9$．因 $ar$，$a{{r}^{2}}$ 都必须小于9，故 $r$ 是一个小于1的分数，且 $r$ 的分母应能整除 $a$．当 $a=9$ 时，最大的 $r$ 是 $\frac{2}{3}$，所以最大几何数是964．对于最小的几何数，一定有 $a\geqslant 1$，因 $ar$，$a{{r}^{2}}$ 都必须大于1，故 $r$ 至少为2，最小几何数是124．因此，所要求的差为 $964-124\text{=}840$．
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解析
备注
