设 $A$、$B$ 是半径为2的半圆弧的两端点．该半圆被六个点 ${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$ 等分成七段，连接所有的弦 $A{{C}_{i}}$ 和 $B{{C}_{i}}$．设 $n$ 是这12条弦长度的乘积，求 $n$ 除以1000的余数．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
672
【解析】
如图所示，在复平面上画出半圆弧使得 $A$，位于 $-2$，而 $B$ 位于 $2 $，则这个圆弧恰好是以 $0 $ 为圆心半径为 $2 $ 的圆的一半，且这 $12 $ 条弦分别等于 $A{{C}_{1}}$，$A{{C}_{2}}$，…，$A{{C}_{6}}$，$A{{C}_{7}}$，…，$A{{C}_{11}}$，$AC12$，其中的点 ${{C}_{7}}$，…，${{C}_{11}}$，${{C}_{12}}$ 分别是 ${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$ 关于实轴的对称点，则14个点 $A$，$B$，${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$，${{C}_{7}}$，…，${{C}_{11}}$，${{C}_{12}}$ 恰好是 ${{2}^{14}}$ 的14个根．点 $z$ 到点2之间的弦长等于复数 $\omega=z-2$ 的模，每一个复数 $\omega$ 都满足 ${{\left(\omega +2 \right)}^{14}}={{2}^{14}}$．这12条弦的长度的乘积与 $AB$ 相乘的结果等于方程 $\frac{{{\left(\omega +2 \right)}^{14}}-{{2}^{14}}}{\omega }=0$ 的所有根的乘积的模．将这个方程的左边化为多项式后，所有根的乘积是这个多项式的常数项．由二项式定理，这个常数项应等于 $C_{14}^{13}\cdot {{2}^{13}}$，它等于 $AB\cdot n$．而 $AB=4$，所以 $n=\frac{14\cdot {{2}^{13}}}{4}=14\cdot{{2}^{11}}=28672$，故所要求的结果为672．
答案
解析
备注
