在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=450$，$BC=300$，点 $K$ 是边 $AC$ 的中点，$\angle ACB$ 的平分线交边 $AB$ 于点 $L$．设 $P$ 是 $BK$ 与 $CL$ 的交点，延长 $PK$ 到 $M$，使得 $KM=PK$．若 $AM=180$，求 $LP$ 的长度．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
72
【解析】
如图所示，因四边形 $APCM$ 的对角线互相平分，故 $APCM$ 为平行四边形，于是 $AM$ 平行于 $CP$．又 $\vartriangle ABM\tilde{ }\vartriangle LBP$，故 $\frac{AM}{LP}=\frac{AB}{BL}=1+\frac{AL}{BL}$．由角平分线性质定理可知 $\frac{AL}{LB}=\frac{AC}{BC}$．因此 $\frac{AM}{LP}=1+\frac{AC}{BC}=\frac{AC+BC}{BC}$，故 $LP=\frac{AM\cdot BC}{AC+BC}=\frac{180\cdot 300}{450+300}=72$．
答案
解析
备注
