考查由所有的 $\vartriangle OPQ$ 组成的集合,其中 $O$ 是原点,$P$,$Q$ 是面上两互异的点,它们的坐标 $\left( x ,y \right)$ 都满足 $41x+y=2009$ 的非负整数对.求面积为正整数的 $\vartriangle ABI$ 的个数.
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ(AIMEⅠ)
【标注】
  • 知识点
    >
    组合数学
【答案】
600
【解析】
首先注意到原点到直线 $41x+y=2009$ 的距离为
$\frac{\left|41\cdot 0+0-2009 \right|}{\sqrt{{{41}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{2009}{29\sqrt{2}}$,
且这个距离是所有 $\vartriangle OPQ$ 的高.因此,$\vartriangle OPQ$ 的面积为正整数当且仅当它的底边长是 $29\sqrt{2}$ 的偶数倍.在给定的直线上坐标为非负整数点有50个,即 $\left( 0 ,2009 \right)$,$\left( 1 ,1968 \right)$,…,$\left( 49, 0 \right)$,且任两个连续的点的距离都是 $29\sqrt{2}$.因此,$\vartriangle OPQ$ 的面积为正整数当且仅当它的底边包含有这些点中的3,5,7,…,49个故这样的三角形的个数为 $48+46+44+\ldots+2\text{=}\frac{24\cdot 50}{2}\text{=}600$.
点评设 $P$,$Q$ 的坐标分别为 $\left( {{x}_{0}} ,{{y}_{0}} \right)$,$\left( {{x}_{0}}+k ,{{y}_{0}}-41k \right)$,其中 ${{x}_{0}}$,${{y}_{0}}$ 为满足 $41{{x}_{0}}+{{y}_{0}}=2009$ 的非负整数,$k$ 是正整数.于是,$\vartriangle OPQ$ 的面积为\[\frac{1}{2}\left| \begin{matrix}
{{x}_{0}}+k& {{y}_{0}}-41k & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
{{x}_{0}} &{{y}_{0}} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 &1 \\
\end{matrix} \right|\]的绝对值\[=\frac{1}{2}\left|{{x}_{0}}{{y}_{0}}+k{{y}_{0}}-{{x}_{0}}{{y}_{0}}+41k{{x}_{0}} \right|\]\[\text{=}\left|\frac{1}{2}k\left( 41{{x}_{0}}+{{y}_{0}} \right) \right|=\left|\frac{1}{2}\cdot 2009k \right|\]因此,$\vartriangle OPQ$ 的面积为正整数当且仅当 $k$ 是正偶数,坐标为 $\left(i ,2009-41i \right)$,$0\leqslant i\leqslant 49$ 的点 ${{P}_{i}}$ 表示直线 $41x+y=2009$ 上所有的非负整数点,共有50个.点对 $\left( {{P}_{i}} ,{{P}_{j}} \right)$(其中 $j-i$ 为偶数且 $ij$)一一对应于面积为正整数的 $\vartriangle OPQ$.于是 $j-i=2p$,$1\leqslant p\leqslant 24$,且对于每个可能的 $p$ 的值,有 $50-2p$ 对满足条件的 $\left( {{P}_{i}}, {{P}_{j}} \right)$.故满足条件的三角形的个数为
$\displaystyle \sum\limits_{p=1}^{24}{\left(50-2p \right)=\sum\limits_{q=1}^{24}{2q=2\cdot \frac{24\cdot 25}{2}=600}}$.
答案 解析 备注
0.138609s