在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，下底 $AD$ 上的底角是 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，对角线长为 $10\sqrt{21}$．平面上一点 $E$ 满足 $EA=10\sqrt{7}$，$ED=30\sqrt{7}$．作 $CF\bot AD$ 于 $F$．线段 $EF$ 的长度可以表示为 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
32
【解析】
由于 $30\sqrt{7}=DE\leqslant DA+AE=DA+10\sqrt{7}$，故 $DA\ge20\sqrt{7}$．设 $\angle DCA=\theta $，则在 $\vartriangle DCA$ 中由正弦定理可得 $\frac{10\sqrt{21}}{\sin\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}}=\frac{DA}{\sin \theta }\geqslant\frac{20\sqrt{7}}{\sin \theta }$，解得 $\sin\theta \geqslant 1$．
因此 $\theta =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$DA=20\sqrt{7}$，且 $E$ 在 $DA$ 的延长线上．
由勾股定理可知 $DC=\sqrt{D{{A}^{2}}-C{{A}^{2}}}=10\sqrt{7}$，故 $DF=DC\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=5\sqrt{7}$．因此 $EF=DE-DF=30\sqrt{7}-5\sqrt{7}=25\sqrt{7}$，即 $m+n=32$．
因此 $\theta =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$DA=20\sqrt{7}$，且 $E$ 在 $DA$ 的延长线上．
由勾股定理可知 $DC=\sqrt{D{{A}^{2}}-C{{A}^{2}}}=10\sqrt{7}$，故 $DF=DC\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=5\sqrt{7}$．因此 $EF=DE-DF=30\sqrt{7}-5\sqrt{7}=25\sqrt{7}$，即 $m+n=32$．
答案
解析
备注
