图26-3所示是一个 $4\times 4$ 的点阵，最近的两个点相距为1个单位，定义一个生长路径是点阵中不同点之间的一个序列，且连续两点之间的距离严格单调（这个点列中第1、2个点间距离小于第2、3个点间距离，第2、3个点间距离于第3、4个点间距离……）．一条生长路径所含点数目的最大值为 $m$，恰好含有 $m$ 个点的生长路径一共有 $r$ 条，求 $m\cdot r$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
240
【解析】
我们来证明 $m=10$ 和 $r=24$．注意到在这个 $4\times 4$ 的点阵中（图26-5），任何两点的距离形如 $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$，$a$，$b\in \left\{ 0 ,1 ,2, 3 \right\}$．不同的距离有9种，分别为 $\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{9}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$ 和 $\sqrt{18}$．因此一条生长路线上最多含有10个点．对于一条生长路线，不妨设其上的10个点依次为 ${{p}_{1}}$，${{p}_{2}}$，…，${{p}_{10}}$．如图26-5所示，首先可知 ${{p}_{9}}{{p}_{10}}=\sqrt{18}$，即 ${{p}_{9}}$ 和 ${{p}_{10}}$ 分别位于这个点阵对角线的两端点，${{p}_{9}}$ 和 ${{p}_{10}}$ 在这个点阵中一共有4种排列．${{p}_{8}}$ 在 ${{p}_{10}}$ 的旁边两个对称的位置之一．注意到右上角不可能是 ${{p}_{7}}$，否则有 ${{p}_{6}}={{p}_{9}}$ 或 ${{p}_{6}}={{p}_{10}}$．容易发现 ${{p}_{7}}$，${{p}_{6}}$，${{p}_{5}}$，${{p}_{4}}$，${{p}_{3}}$ 和 ${{p}_{2}}$ 都是固定的，最后只有 ${{p}_{1}}$ 有三种可能的位置，即 $r=4\cdot2\cdot 3=24$，所以 $mr=240$ 为所求．
答案
解析
备注
