设 $N={{100}^{2}}+{{99}^{2}}-{{98}^{2}}-{{97}^{2}}+{{96}^{2}}+\ldots +{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{2}^{2}}-{{1}^{2}}$，其中加减号成对轮流出现，求 $N$ 除以1000的余数．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
100
【解析】
$N=\left( {{100}^{2}}-{{98}^{2}} \right)+\left({{99}^{2}}-{{97}^{2}} \right)+\left( {{96}^{2}}-{{94}^{2}} \right)+\left({{95}^{2}}-{{93}^{2}} \right)+\ldots+\left({{4}^{2}}-{{2}^{2}} \right)+\left({{3}^{2}}-{{1}^{2}} \right)$
$ =2\cdot \left(100+98 \right)+2\cdot \left(99+97 \right)+2\cdot \left(96+94 \right)+2\cdot \left(95+93 \right)+\ldots +2\cdot\left(4+2 \right)+2\cdot \left(3+1 \right)$
$ =2\cdot \left(100+99+98+\ldots +3+2+1\right)$
$ =2\cdot \frac{100\cdot \left(100+1\right)}{2} $
$ =10100 $．
因此 $ N$ 除以1000的余数为100．
$ =2\cdot \left(100+98 \right)+2\cdot \left(99+97 \right)+2\cdot \left(96+94 \right)+2\cdot \left(95+93 \right)+\ldots +2\cdot\left(4+2 \right)+2\cdot \left(3+1 \right)$
$ =2\cdot \left(100+99+98+\ldots +3+2+1\right)$
$ =2\cdot \frac{100\cdot \left(100+1\right)}{2} $
$ =10100 $．
因此 $ N$ 除以1000的余数为100．
答案
解析
备注
