⊙ $\omega $ 的直径为 $AB$，延长 $BA$ 到 $C$，过 $C$ 作 $CT$ 切⊙ $\omega $ 于 $T$，作 $AP\bot CT$ 于 $P$，设 $AB=18$，$m$ 表示线段 $BP$ 长度的最大值．求 ${{m}^{2}}$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
432
【解析】
设 $\angle BCT=\alpha $，这个圆的圆心为 $O$，并连接 $OT$．
显然 $CO=OT\csc\alpha =9\csc \alpha $，故 $CA=9\csc\alpha -9$，因此
$AP=CA\sin\alpha =9-9\sin \alpha $．
在 $\vartriangle PAB$ 中用余弦定理得
$P{{B}^{2}}=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}-2PA\cdot AB\cdot \cos \angle PAB$
$=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+2PA\cdot AB\cdot \cos \angle PAC$
$=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+2PA\cdot AB\cdot \cos \alpha $
$={{\left(9-9\sin \alpha \right)}^{2}}+{{18}^{2}}+2\left( 9-9\sin \alpha \right)\cdot 18\cdot \sin \alpha $
$=81{{\left(1-\sin \alpha \right)}^{2}}+4+4\sin\alpha \left( 1-\sin \alpha \right)$
$=81\left(-3{{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha +5 \right)$
$=81\left[\frac{16}{3}-3{{\left( \sin \alpha -\frac{1}{3} \right)}^{2}}\right]=432-243{{\left( \sin \alpha -\frac{1}{3} \right)}^{2}}$．
因此当 $\sin\alpha =\frac{1}{3}$ 时，$BP$ 取得最大值 $\sqrt{432}$，即 $m=432$．
显然 $CO=OT\csc\alpha =9\csc \alpha $，故 $CA=9\csc\alpha -9$，因此
$AP=CA\sin\alpha =9-9\sin \alpha $．
在 $\vartriangle PAB$ 中用余弦定理得
$P{{B}^{2}}=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}-2PA\cdot AB\cdot \cos \angle PAB$
$=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+2PA\cdot AB\cdot \cos \angle PAC$
$=P{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+2PA\cdot AB\cdot \cos \alpha $
$={{\left(9-9\sin \alpha \right)}^{2}}+{{18}^{2}}+2\left( 9-9\sin \alpha \right)\cdot 18\cdot \sin \alpha $
$=81{{\left(1-\sin \alpha \right)}^{2}}+4+4\sin\alpha \left( 1-\sin \alpha \right)$
$=81\left(-3{{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha +5 \right)$
$=81\left[\frac{16}{3}-3{{\left( \sin \alpha -\frac{1}{3} \right)}^{2}}\right]=432-243{{\left( \sin \alpha -\frac{1}{3} \right)}^{2}}$．
因此当 $\sin\alpha =\frac{1}{3}$ 时，$BP$ 取得最大值 $\sqrt{432}$，即 $m=432$．
答案
解析
备注
