定义数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 如下：${{a}_{0}}=1$，${{a}_{1}}=1$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+\frac{a_{n-1}^{2}}{{{a}_{n-2}}}$；定义数列 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 如下：${{b}_{0}}=1, {{b}_{1}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$．求 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
561
【解析】
由 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+\frac{a_{n-1}^{2}}{{{a}_{n-2}}}$ 得 $\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n-1}}}=1+\frac{{{a}_{n-1}}}{{{a}_{n-2}}}$．结合 $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}=\frac{1}{1}=1$ 及数学归纳法不难得出 $\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n-1}}}=n$，再利用数学归纳法可得 ${{a}_{n}}=n!\text{}\left( n\geqslant 1 \right)$．
同理，由 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$ 得 $\frac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n-1}}}=1+\frac{{{b}_{n-1}}}{{{b}_{n-2}}}$．结合 $\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{0}}}=\frac{3}{1}=3$ 及数学归纳法不难得出 $\frac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n-1}}}=n+2$，再利用数学归纳法可得 ${{b}_{n}}=\frac{1}{2}\left(n+2 \right)!$ $\left( n\geqslant 1 \right)$．
因此 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left( 32+2 \right)!}{32!}=\frac{34!}{2\cdot 32!}=17\times 33=561$．
同理，由 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$ 得 $\frac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n-1}}}=1+\frac{{{b}_{n-1}}}{{{b}_{n-2}}}$．结合 $\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{0}}}=\frac{3}{1}=3$ 及数学归纳法不难得出 $\frac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n-1}}}=n+2$，再利用数学归纳法可得 ${{b}_{n}}=\frac{1}{2}\left(n+2 \right)!$ $\left( n\geqslant 1 \right)$．
因此 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left( 32+2 \right)!}{32!}=\frac{34!}{2\cdot 32!}=17\times 33=561$．
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备注
