已知存在唯一一组 $r$ 个非负数 ${{n}_{1}}{{n}_{2}}\ldots {{n}_{r}}$ 和 $r $ 个整数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{r}}$，其中每个 ${{a}_{k}}$ 的取值是1或 $-1$，使得 ${{a}_{1}}\times {{3}^{{{n}_{1}}}}+{{a}_{2}}\times {{3}^{{{n}_{2}}}}+\ldots +{{a}_{r}}\times {{3}^{{{n}_{r}}}}=2008$，求 ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{r}}$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
21
【解析】
每一个正整数存在唯一的 $3$ 进制表示，$2008$ 可表示为 ${{\left( 2202101 \right)}_{3}}$．
注意到 $2\cdot {{3}^{k}}={{3}^{k+1}}+\left( -1 \right)\cdot {{3}^{k}}$，因此
${{\left(2202101 \right)}_{3}}={{2.3}^{6}}+{{2.3}^{5}}+{{2.3}^{3}}+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$
$=\left[{{3}^{7}}+\left( -1 \right)\cdot {{3}^{6}} \right]+\left[ {{3}^{6}}+\left( -1\right)\cdot {{3}^{5}} \right]+\left[ {{3}^{4}}+\left( -1 \right)\cdot{{3}^{3}} \right]+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$
$={{1.3}^{7}}+\left(-1 \right)\cdot {{3}^{5}}+{{1.3}^{4}}+\left( -1 \right)\cdot{{3}^{3}}+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$．
故 ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{r}}=7+5+4+3+2+0=21$．
注意到 $2\cdot {{3}^{k}}={{3}^{k+1}}+\left( -1 \right)\cdot {{3}^{k}}$，因此
${{\left(2202101 \right)}_{3}}={{2.3}^{6}}+{{2.3}^{5}}+{{2.3}^{3}}+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$
$=\left[{{3}^{7}}+\left( -1 \right)\cdot {{3}^{6}} \right]+\left[ {{3}^{6}}+\left( -1\right)\cdot {{3}^{5}} \right]+\left[ {{3}^{4}}+\left( -1 \right)\cdot{{3}^{3}} \right]+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$
$={{1.3}^{7}}+\left(-1 \right)\cdot {{3}^{5}}+{{1.3}^{4}}+\left( -1 \right)\cdot{{3}^{3}}+{{1.3}^{2}}+{{1.3}^{0}}$．
故 ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{r}}=7+5+4+3+2+0=21$．
答案
解析
备注
