一块长方体奶酪的长、宽、高分别为 $10\text{cm}$，$13\text{cm}$，$14\text{cm}$．每次从平行于奶酪某个面的方向中切出厚度为 $1\text{cm}$ 的一片奶酪，共切10次，每次切的方向不必是互相平行的．在10次切除之后剩余奶酪的最大体积是多少立方厘米？
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
729
【解析】
设切去10片后的奶酪的长、宽、高分别为 $a\text{cm}$，$b\text{cm}$，$c\text{cm}$，它的体积为 $abc\text{c}{{\text{m}}^{3}}$，又因为切去的每片奶酪的厚度为 $1\text{cm}$，故 $a+b+c=\left(10+13+14 \right)-10=27$．由代数-几何平均值不等式可得 $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$，即 $abc\leqslant{{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}=729$．当 $a=b=c=9$ 时，剩余奶酪的体积取到最大值 $729\text{c}{{\text{m}}^{3}}$．
答案
解析
备注
