设 $r$，$s$，$t$ 是方程 $8{{x}^{3}}+1001x+2008=0$ 的三个根，求 ${{\left( r+s \right)}^{3}}+{{\left( s+t \right)}^{3}}+{{\left( t+r \right)}^{3}}$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
753
【解析】
因为三次方程没有 ${{x}^{2}}$ 项，所以它的所有根之和为0，即 $s+r+t=0$．故
${{\left(r+s \right)}^{3}}+{{\left( t+s \right)}^{3}}+{{\left( r+t\right)}^{3}}={{\left( -t \right)}^{3}}+{{\left( -s \right)}^{3}}+{{\left( -r\right)}^{3}}=-\left( {{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)$．
由于 $r$ 为方程的根，故 $8{{r}^{3}}+1001r+2008=0$，对 $s$ 和 $t$ 也有同样的式子，因此有
$8\left({{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)+1001\left( s+r+t \right)+3\times 2008=0$．
故
${{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}}=\frac{1001\left(s+r+t \right)+3\times 2008}{-8}=\frac{3\times 2008}{-8}=-753$．
所以 ${{\left(r+s \right)}^{3}}+{{\left( t+s \right)}^{3}}+{{\left( r+t \right)}^{3}}=-\left({{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)=753$．
${{\left(r+s \right)}^{3}}+{{\left( t+s \right)}^{3}}+{{\left( r+t\right)}^{3}}={{\left( -t \right)}^{3}}+{{\left( -s \right)}^{3}}+{{\left( -r\right)}^{3}}=-\left( {{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)$．
由于 $r$ 为方程的根，故 $8{{r}^{3}}+1001r+2008=0$，对 $s$ 和 $t$ 也有同样的式子，因此有
$8\left({{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)+1001\left( s+r+t \right)+3\times 2008=0$．
故
${{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}}=\frac{1001\left(s+r+t \right)+3\times 2008}{-8}=\frac{3\times 2008}{-8}=-753$．
所以 ${{\left(r+s \right)}^{3}}+{{\left( t+s \right)}^{3}}+{{\left( r+t \right)}^{3}}=-\left({{r}^{3}}+{{s}^{3}}+{{t}^{3}} \right)=753$．
答案
解析
备注
