在一段单车道单行线的长直高速公路上，汽车均以相同的速度且都遵循安全规则：每个15千米/小时的速度，前一辆车的车尾到下一辆车的车头的距离是一辆车的长度（不足15千米/小时的按15千米/小时算，例如，当前一辆车每小时行52千米时，前一辆车的车尾与后一辆车的车头将相距4个车长）．安放在路边的电子眼摄像头用来记录一小时内通过的车辆数目，假定每辆车的车长均为4米，且汽车可以以任何速度穿过．设 $M$ 是一小时内电子眼摄像头能够记录的最大数自．求 $M$ 被10除所得的商．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
375
【解析】
设汽车的速度为 $s$ 千米/小时，则相邻两辆车之间的距离为 $\left[ \frac{s}{15} \right]$ 个车长，所以相邻两车之间的距离为 $4\left[ \frac{s}{15} \right]$ 米，因此，从前面一辆车到后面一辆车的距离为 $d=4\left[\frac{s}{15} \right]+4$ 米，每辆车以 $s$ 千米/小时的速度行驶．设相邻两车之间的距离区间为一个间隔，则一个小时内通过电子眼的间隔数 $N$ 为
$\frac{1000s}{d}=\frac{1000s}{4\left[\frac{s}{15} \right]+4}=\frac{250s}{\left[ \frac{s}{15} \right]+1}$．
设 $\left[\frac{s}{15} \right]=\frac{s}{15}+\varepsilon $，其中 $0\leqslant\varepsilon \leqslant1$，那么 $N=\frac{250s}{\frac{s}{15}+\varepsilon+1}=\frac{3750}{1+\frac{15\varepsilon +15}{s}}$，其中 $\frac{15\varepsilon+15}{s}$ 是一个正数，且随着 $s$ 的增大，递减趋向于0，因此 $N\leqslant3750$．
另一方面．当 $s$ 取足够大时，$N$ 趋向于3750．所以，以汽车以足够大的速度行驶时，在一个小时内，将至少有 $3749.9$ 个间隔通过电子眼，假定开始时正好有一辆车通过电子眼，在3749个间隔中每个间隔恰好有一辆车通过，最后的 $0.9$ 个间隔的开始有一辆车通过，因而总共有3750辆车通过电子眼，3750被10除的商375即为所求．
$\frac{1000s}{d}=\frac{1000s}{4\left[\frac{s}{15} \right]+4}=\frac{250s}{\left[ \frac{s}{15} \right]+1}$．
设 $\left[\frac{s}{15} \right]=\frac{s}{15}+\varepsilon $，其中 $0\leqslant\varepsilon \leqslant1$，那么 $N=\frac{250s}{\frac{s}{15}+\varepsilon+1}=\frac{3750}{1+\frac{15\varepsilon +15}{s}}$，其中 $\frac{15\varepsilon+15}{s}$ 是一个正数，且随着 $s$ 的增大，递减趋向于0，因此 $N\leqslant3750$．
另一方面．当 $s$ 取足够大时，$N$ 趋向于3750．所以，以汽车以足够大的速度行驶时，在一个小时内，将至少有 $3749.9$ 个间隔通过电子眼，假定开始时正好有一辆车通过电子眼，在3749个间隔中每个间隔恰好有一辆车通过，最后的 $0.9$ 个间隔的开始有一辆车通过，因而总共有3750辆车通过电子眼，3750被10除的商375即为所求．
答案
解析
备注
