同样规格的木箱的长、宽、高分别是3英尺、4英尺、6英尺．第一个木箱放置在地面上，其余9个木箱依次被放置于前一个木箱的上面，且每个木箱的朝向完全随机的．设堆放木箱的高度正好为41英尺的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
190
【解析】
每一个木箱有三种不同的摆放方式，那么10个箱子总共有 ${{3}^{10}}$ 种摆放方式，设某些摆放方式髙度为41英寸，$x$，$y$，$z$ 分别其中高度为3，4，6英寸的箱子数目，则有
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=10 \\
3x+4y+6z=41 \\
\end{array}\right.$
可得 $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x-2z=-1 \\
y+32=11 \\
\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}x=2z-1 \\
y=11-3z . \\
\end{array}\right.$
又由于 $x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，故 $z\in \left\{ 1 ,2 ,3 \right\}$，每一个 $z$ 的值对应的解 $\left(x,y, z \right)$ 分别为 $\left(1,8,1,\right)$，$\left(3,5,2 \right)$，$\left(5,2,3 \right)$．
对于每一组解 $\left(x,y,z \right)$，有 $\frac{10!}{x!y!z!}$ 种叠放方式，故高度为41英寸的叠放方式有 $\frac{10!}{1!\text{}8!\text{ }1!}+\frac{10!}{3!\text{ 5! 2!}}+\frac{10!}{5!\text{ 2! 3!}}=5130$ 种，所以，所求的概率为 $\frac{5130}{{{3}^{10}}}=\frac{190}{{{3}^{7}}}$，因此 $m=190$．
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=10 \\
3x+4y+6z=41 \\
\end{array}\right.$
可得 $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x-2z=-1 \\
y+32=11 \\
\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}x=2z-1 \\
y=11-3z . \\
\end{array}\right.$
又由于 $x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，故 $z\in \left\{ 1 ,2 ,3 \right\}$，每一个 $z$ 的值对应的解 $\left(x,y, z \right)$ 分别为 $\left(1,8,1,\right)$，$\left(3,5,2 \right)$，$\left(5,2,3 \right)$．
对于每一组解 $\left(x,y,z \right)$，有 $\frac{10!}{x!y!z!}$ 种叠放方式，故高度为41英寸的叠放方式有 $\frac{10!}{1!\text{}8!\text{ }1!}+\frac{10!}{3!\text{ 5! 2!}}+\frac{10!}{5!\text{ 2! 3!}}=5130$ 种，所以，所求的概率为 $\frac{5130}{{{3}^{10}}}=\frac{190}{{{3}^{7}}}$，因此 $m=190$．
答案
解析
备注
