一个质点位于坐标平面上点 $\left( 5 ,0 \right)$ 处，定义质点的一次移动是先绕原点逆时针旋转 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 弧度，再沿 $X$ 轴正方向平移10个单位．若此质点做150次这样的移动后位于点 $\left( p, q \right)$ 处，求不关于 $\left| p \right|+\left| q \right|$ 的最大正整数．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
19
【解析】
不妨这个坐标平面为复坐标平面，设 ${{z}_{k}}$ 表示这个质点经过 $k$ 次移动后到达的点所代表的复数，一个复数逆时针旋转 $\theta$，相当于这个复数乘以 ${{\text{e}}^{i\theta}}$ 倍，复数向左平移了10个单位相当于复数加10，因此有 ${{z}_{0}}=5$ 和 ${{z}_{k+1}}=w{{z}_{k}}+10$，$k\ge0$．其中 $w=\cos\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+i\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1+i \right)$．故
${{z}_{1}}=5w+10$，
${{z}_{2}}=w\left(5w+10 \right)+10=5{{w}^{2}}+10w+10$，
${{z}_{3}}=w\left(5{{w}^{2}}+10w+10 \right)+10=5{{w}^{3}}+10{{w}^{2}}+10w+10$，
等等．由此可得数列 $\left\{ {{z}_{k}} \right\}$ 的通项为 ${{z}_{k}}=5{{w}^{k}}+10\left({{w}^{k-1}}+{{w}^{k-2}}+\ldots +1 \right)$．
特别地，${{z}_{150}}=5{{w}^{150}}+10\left( {{w}^{149}}+{{w}^{148}}+\ldots+1 \right)$．注意到 ${{w}^{4}}=\cos\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+i\sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-1$ 及 ${{w}^{8}}={{\left( -1 \right)}^{2}}=1$，故
${{z}_{150}}=5{{w}^{150}}+10\left({{w}^{149}}+{{w}^{148}}+\ldots +1 \right)$
$=5{{w}^{6}}+10\left({{w}^{5}}+{{w}^{4}}+{{w}^{3}}+{{w}^{2}}+w+1 \right)$
$=10{{w}^{3}}+5{{w}^{2}}=10\left(\cos \frac{3}{4}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+i\sin \frac{3}{4}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ } \right)+5\left( \cos \frac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}+i\sin \frac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$
$=10\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \right)+5i=-5\sqrt{2}+\left(5\sqrt{2}+5 \right)i$．
因此 $\left( p q \right)=\left( -5\sqrt{2} 5\sqrt{2}+5\right)$，故 $\left|p \right|+\left| q \right|=10\sqrt{2}+5$．所求的不大于 $10\cdot1.414+5=19.14$ 的最大正整数为19．
${{z}_{1}}=5w+10$，
${{z}_{2}}=w\left(5w+10 \right)+10=5{{w}^{2}}+10w+10$，
${{z}_{3}}=w\left(5{{w}^{2}}+10w+10 \right)+10=5{{w}^{3}}+10{{w}^{2}}+10w+10$，
等等．由此可得数列 $\left\{ {{z}_{k}} \right\}$ 的通项为 ${{z}_{k}}=5{{w}^{k}}+10\left({{w}^{k-1}}+{{w}^{k-2}}+\ldots +1 \right)$．
特别地，${{z}_{150}}=5{{w}^{150}}+10\left( {{w}^{149}}+{{w}^{148}}+\ldots+1 \right)$．注意到 ${{w}^{4}}=\cos\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+i\sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-1$ 及 ${{w}^{8}}={{\left( -1 \right)}^{2}}=1$，故
${{z}_{150}}=5{{w}^{150}}+10\left({{w}^{149}}+{{w}^{148}}+\ldots +1 \right)$
$=5{{w}^{6}}+10\left({{w}^{5}}+{{w}^{4}}+{{w}^{3}}+{{w}^{2}}+w+1 \right)$
$=10{{w}^{3}}+5{{w}^{2}}=10\left(\cos \frac{3}{4}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+i\sin \frac{3}{4}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ } \right)+5\left( \cos \frac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}+i\sin \frac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$
$=10\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \right)+5i=-5\sqrt{2}+\left(5\sqrt{2}+5 \right)i$．
因此 $\left( p q \right)=\left( -5\sqrt{2} 5\sqrt{2}+5\right)$，故 $\left|p \right|+\left| q \right|=10\sqrt{2}+5$．所求的不大于 $10\cdot1.414+5=19.14$ 的最大正整数为19．
答案
解析
备注
