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考查完全由字母 $A$ 和 $B$ 组成的具有如下性质的序列：每段连续的 $A$ 有偶数个，每段连续的 $B$ 有奇数个．例如 $AA$，$B$，$AABAA$ 都是这样的序列，而 $BBAB$ 就不是这样的序列．
在长度为14的序列中有多少个具有这种性质？
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
172
【解析】
显然满足条件的序列中 $B$ 的段数应为偶数，设 $B$ 有 $x$ 段，则 $A$ 至少有 $x-1$ 段，故 $x+2\left(x-1 \right)\leqslant 14$，解得 $x\le5$，故 $x$ 只能为0，2，4之一．
若 $x=0$，则序列中没有 $B$，此时有唯一的序列 $AAAAAAAAAAAAAA$ 满足条件．
若 $x=2$，则应序中的 $A$ 可能有1段，2段或3段，若序列中只有1段 $A$，则这段 $A$ 应在两段 $B$ 之间，设这三个段字母分别有 $2{{a}_{1}}-1$，$2{{a}_{2}}$，$2{{a}_{3}}-1$ 个，其中 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$ 为正整数，则 $\left( 2{{a}_{1}}-1 \right)+2{{a}_{2}}+\left(2{{a}_{3}}-1 \right)=14$，故 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=8$，易知此方程有 $\text{C}_{8-1}^{3-1}=21$ 组正整数解，即这样的序列有21个；若序列中有2段 $A$，则此序列字母出现的顺序应为 $ABAB$ 或 $BABA$，仿上讨论可得这样的序列有 $2\cdot \text{C}_{8-1}^{4-1}=70$ 个；若序列中有3段 $A$，则此序列字母出现的顺序为 $ABABA$，这样的序列有 $\text{C}_{8-1}^{5-1}=35$ 个．故当 $x=2$ 时，满足要求的序列有 $21+70+35=126$ 个．
若 $x=4$，仿上讨论知该序列字母出现的顺序应为 $BABABAB$，$ABABABAB$，$BABABABA$，$ABABABABA$ 之一，对应的序列分别有 $\text{C}_{9-1}^{7-1}$，$\text{C}_{9-1}^{8-1}$，$\text{C}_{9-1}^{8-1}$ 和 $\text{C}_{9-1}^{9-1}$ 个．故当 $x=4$ 时，满足要求的序列有 $\text{C}_{9-1}^{7-1}+\text{C}_{9-1}^{8-1}+\text{C}_{9-1}^{8-1}+\text{C}_{9-1}^{9-1}=28+8+8+1=45$ 个．
综上所述，满足要求的长度为14的序列有 $1+126+45=172$ 个．
答案 解析 备注
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