设 $p\left( x ,y \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y+{{a}_{3}}{{x}^{2}}+{{a}_{4}}x{{y}^{2}}+{{a}_{5}}{{x}^{2}}+{{a}_{6}}{{x}^{3}}+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}+{{a}_{9}}{{y}^{3}}$ 满足 $p\left( 0, 0 \right)$ $=p\left( 1 ,0 \right)=p\left( -1 ,0 \right)=p\left( 0 ,1 \right)=p\left( 0, -1 \right)=p\left( 1 ,1 \right)=p\left( 1 ,-1 \right)=p\left( 2 ,2 \right)=0$．存在点 $\left( \frac{a}{c}, \frac{b}{c} \right)$ 使得对所有满足上面性质的多项式 $p$ 都有 $p\left( \frac{a}{c} ,\frac{b}{c} \right)=0$，其中是正整数，且 $a$ 与 $c$ 互素，$c1$．求 $a+b+c$．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
40
【解析】
由 $p\left( 0 ,0 \right)=p\left( 1 ,0 \right)=p\left( -1 ,0 \right)=p\left( 0, 1 \right)=p\left( 0 ,-1 \right)=0$ 可知
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{0}}=0 \\
{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{6}}=0 \\
{{a}_{1}}-{{a}_{3}}+{{a}_{6}}=0 \\
{{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{9}}=0 \\
{{a}_{2}}-{{a}_{5}}+{{a}_{9}}=0 \\
\end{array}\right.$
因此 ${{a}_{3}}={{a}_{5}}=0,{{a}_{6}}=-{{a}_{1}} ,{{a}_{9}}=-{{a}_{2}}$，故
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left( x-{{x}^{3}} \right)+{{a}_{2}}\left(y-{{y}^{3}} \right)+{{a}_{4}}xy+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}$．
同样，由 $p\left(1 1 \right)=p\left( 1 -1 \right)$ 又可得 ${{a}_{8}}=0, {{a}_{7}}=-{{a}_{4}}$，故
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left( x-{{x}^{3}} \right)+{{a}_{2}}\left(y-{{y}^{3}} \right)+{{a}_{4}}\left( xy-{{x}^{2}}y \right)$．
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left[ x-{{x}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right) \right]{{a}_{2}}\left[ y-{{y}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right) \right]$．
因此 $\left(\frac{a}{c} \frac{b}{c} \right)$ 是方程组
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x-{{x}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right)=0 \\
y-{{y}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right)=0 \\
\end{array}\right.$
的解，由第一个方程得 $x\left(x-1 \right)\left( 2x-3y+2 \right)=0$．由 $a$，$c$ 互素且 $c1$，故 $x\left( x-1 \right)\ne 0$，因此 $2x-3y+2=0$，即 $x=\frac{3y-2}{2}$．将其代入第二个方程并整理得
$y\left(y-2 \right)\left( 19y-16 \right)=0$．
当 $y=0$ 时，$x=-1$，不合题意；当 $y=2$ 时，$x=2$，不合题意；当 $y=\frac{16}{19}$ 时，$x=\frac{5}{19}$，符号题意．因此所求的 $a+b+c=5+16+19=40$．
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{0}}=0 \\
{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{6}}=0 \\
{{a}_{1}}-{{a}_{3}}+{{a}_{6}}=0 \\
{{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{9}}=0 \\
{{a}_{2}}-{{a}_{5}}+{{a}_{9}}=0 \\
\end{array}\right.$
因此 ${{a}_{3}}={{a}_{5}}=0,{{a}_{6}}=-{{a}_{1}} ,{{a}_{9}}=-{{a}_{2}}$，故
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left( x-{{x}^{3}} \right)+{{a}_{2}}\left(y-{{y}^{3}} \right)+{{a}_{4}}xy+{{a}_{7}}{{x}^{2}}y+{{a}_{8}}x{{y}^{2}}$．
同样，由 $p\left(1 1 \right)=p\left( 1 -1 \right)$ 又可得 ${{a}_{8}}=0, {{a}_{7}}=-{{a}_{4}}$，故
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left( x-{{x}^{3}} \right)+{{a}_{2}}\left(y-{{y}^{3}} \right)+{{a}_{4}}\left( xy-{{x}^{2}}y \right)$．
$p\left(x, y \right)={{a}_{1}}\left[ x-{{x}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right) \right]{{a}_{2}}\left[ y-{{y}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right) \right]$．
因此 $\left(\frac{a}{c} \frac{b}{c} \right)$ 是方程组
$\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
x-{{x}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right)=0 \\
y-{{y}^{3}}-\frac{3}{2}\left( xy-{{x}^{2}}y\right)=0 \\
\end{array}\right.$
的解，由第一个方程得 $x\left(x-1 \right)\left( 2x-3y+2 \right)=0$．由 $a$，$c$ 互素且 $c1$，故 $x\left( x-1 \right)\ne 0$，因此 $2x-3y+2=0$，即 $x=\frac{3y-2}{2}$．将其代入第二个方程并整理得
$y\left(y-2 \right)\left( 19y-16 \right)=0$．
当 $y=0$ 时，$x=-1$，不合题意；当 $y=2$ 时，$x=2$，不合题意；当 $y=\frac{16}{19}$ 时，$x=\frac{5}{19}$，符号题意．因此所求的 $a+b+c=5+16+19=40$．
答案
解析
备注
