试找出去掉最左端的数字后所得的新数是原数的 $\frac{1}{29}$ 的最小正整数。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
725
【解析】
满足条件的整数至少是两位数。设 $d$ 是最左边的数字，$n$ 是去掉 $d$ 后得到的整数，则存在正整数 $p$，使得 $29n=d\cdot {{10}^{p}}+n$，即 $d\cdot {{10}^{p}}=28n$ 。因此 $d$ 是7的倍数，因为 $1\leqslant d\leqslant 9$，故 $d=7$ 。因此 ${{10}^{p}}=4n$，即 $n=\frac{{{10}^{p}}}{4}=15\cdot{{10}^{p-2}}$ 。因而每个满足条件的正整数必须有如下形式：
$7\cdot {{10}^{p}}+25\cdot{{10}^{p-2}}=725\cdot {{10}^{p-2}}$，$p\geqslant 2$ 。
所以满足条件的最小整数为 $725$ 。
$7\cdot {{10}^{p}}+25\cdot{{10}^{p-2}}=725\cdot {{10}^{p-2}}$，$p\geqslant 2$ 。
所以满足条件的最小整数为 $725$ 。
答案
解析
备注
