设 $p$ 是前100个正奇数的乘积，试找出满足 ${{3}^{k}}$ 整除 $p$ 的最大整数 $k$ 。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
49
【解析】
有前 $100$ 个正奇数 $1,3,5,\cdots,199$ 中，
能被 $3$ 整除的有 $3,9,15,\cdots,195$，共 $\frac{195-3}{9-3}+1=33$（个）；
能被 $9$ 整除的有 $9,27,45,\cdots,189$，共 $4$（个）；
能被 $27$ 整除的有 $ 27,81,135,189$，共 $ 4$ 个；
能被 $81$ 整除的仅有一个 $81$ 。
因此 $k=33+11+4+1=49$ 。
能被 $3$ 整除的有 $3,9,15,\cdots,195$，共 $\frac{195-3}{9-3}+1=33$（个）；
能被 $9$ 整除的有 $9,27,45,\cdots,189$，共 $4$（个）；
能被 $27$ 整除的有 $ 27,81,135,189$，共 $ 4$ 个；
能被 $81$ 整除的仅有一个 $81$ 。
因此 $k=33+11+4+1=49$ 。
答案
解析
备注
