已知面积为正的某三角形的三边长分别 ${{\log }_{10}}12$，${{\log }_{10}}75$，${{\log }_{10}}n$，其中 $n$ 为正整数。试求 $n$ 有多少个可能的值？
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
893
【解析】
由三角不等式得
${{\log }_{10}}n<{{\log }_{10}}75+{{\log}_{10}}12={{\log }_{10}}900$，
${{\log }_{10}}n>{{\log }_{10}}75-{{\log}_{10}}12={{\log }_{10}}\left( \frac{25}{4} \right)$ 。
因此 $\frac{25}{4}<n<900$，即 $7\leqslant n\leqslant 899$ 。因此 $n$ 共有899-7+1=893个可能的值。
${{\log }_{10}}n<{{\log }_{10}}75+{{\log}_{10}}12={{\log }_{10}}900$，
${{\log }_{10}}n>{{\log }_{10}}75-{{\log}_{10}}12={{\log }_{10}}\left( \frac{25}{4} \right)$ 。
因此 $\frac{25}{4}<n<900$，即 $7\leqslant n\leqslant 899$ 。因此 $n$ 共有899-7+1=893个可能的值。
答案
解析
备注
