设 $M\text{=1!2!3}\ldots \text{99!100!}$，$N$ 是 $M$ 末位连续零的个数，试求 $N$ 被1000除所得的余数。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
124
【解析】
设 $M=1!2!3!\cdots 99!100!$ 。那么 $N$ 等于 $M$ 含有的因子5的个数。注意到 $M\text{=}{{1}^{100}}\cdot{{2}^{99}}\cdot \ldots \cdot {{99}^{2}}\cdot {{100}^{1}}$，其中每出现一个5的倍数产生一个5的因子，每出现一个25的倍数就额外加增加一个5的因子。5的倍数一共有 $96+91+86+\ldots +1=970$ 个，25的倍数一共有 $76+51+26+1=154$ 个，所以最终 $M$ 末尾零的个数为 $970+154=1124$，故所得的余数为124。
答案
解析
备注
