数列 ${{a}_{1}}, {{a}_{2}} ,\ldots $ 是等比数列，其中 ${{a}_{1}}=a$，公比为 $r$，$\left( a ,r是正整数 \right)$，已知 ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+\ldots +{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2006$，试求有序数对 $\left( a ,r \right)$ 的数目。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
46
【解析】
因为 ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log}_{8}}{{a}_{2}}+\ldots +{{\log }_{8}}{{a}_{12}}={{\log }_{8}}\left({{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{12}} \right)={{\log }_{8}}\left({{a}^{12}}{{r}^{66}} \right)$，故 ${{a}^{12}}{{r}^{66}}={{8}^{2006}}={{2}^{3\cdot2006}}$，即 ${{a}^{2}}{{r}^{11}}={{2}^{1003}}$ 。因为 $a$，$r$ 是正整数，则它们必须都是 ${{2}^{1003}}$ 的因子，因而存在的非负整数 $x$，$y$，使得 $a={{2}^{x}}$，$r={{2}^{y}}$ 。方程化简为 $2x+11y=1003$ 。
注意到 $11y=1003-2x$ 是奇数，故 $y$ 是奇数，故可设 $y=2k+1$，其中 $k$ 是非负整数。代入方程得 $x=496-11k$，故 $k\leqslant \frac{496}{11}=45\frac{1}{11}$，因此 $k$ 可以取0，1，2…，45共46个不同的值。每个不同的 $k$ 值对应唯一的一组 $\left( x ,y \right)$，也就对应唯一的一组 $\left( a,r \right)$，因此满足题意得有序数对 $\left( a,r \right)$ 共有46个。
注意到 $11y=1003-2x$ 是奇数，故 $y$ 是奇数，故可设 $y=2k+1$，其中 $k$ 是非负整数。代入方程得 $x=496-11k$，故 $k\leqslant \frac{496}{11}=45\frac{1}{11}$，因此 $k$ 可以取0，1，2…，45共46个不同的值。每个不同的 $k$ 值对应唯一的一组 $\left( x ,y \right)$，也就对应唯一的一组 $\left( a,r \right)$，因此满足题意得有序数对 $\left( a,r \right)$ 共有46个。
答案
解析
备注
