试求关于 $x$ 的方程 ${{\cos }^{3}}3x+{{\cos }^{3}}5x=8{{\cos }^{3}}4x{{\cos }^{3}}x$ 在 ${{100}^{\circ }}<x<{{200}^{\circ }}$ 上的所有根之和（单位：度）。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
906
【解析】
注意到 $8{{\cos }^{3}}4x{{\cos }^{3}}x={{\left( 2\cos4x\cos x \right)}^{3}}={{\left( \cos 5x+\cos 3x \right)}^{3}}$，设 $y=\cos 3x$，$z=\cos 5x$，则有 ${{y}^{3}}+{{z}^{3}}={{\left(y+z \right)}^{3}}$，展开并化简得到 $3yz\left( y+z \right)=0$ 。因此
$y=0$，$z=0$，$y+z=0$
中至少有一个成立，即 $\cos 5x$，$\cos 3x$，$\cos 5x+\cos 3x=2\cos 4x\cos x$ 三个数中至少有一个为0，这意味着 $x$，$3x$，$4x$，$5x$ 中至少有一个能写成 $k\cdot 180+90$ 的形式。注意到若 $x=k\cdot {{180}^{\circ}}+{{90}^{\circ }}$，则 $3x=\left( 3k+1 \right)\cdot 180+90$，故只需考虑 $3x$，$4x$，$5x$ 。结合 ${{100}^{\circ}}<x<{{200}^{\circ }}$ 可得到所有解为150，$112.5$，$157.5$，126，162，198，故所求和为 $150+112.5+157.5+126+162+198=906$ 。
$y=0$，$z=0$，$y+z=0$
中至少有一个成立，即 $\cos 5x$，$\cos 3x$，$\cos 5x+\cos 3x=2\cos 4x\cos x$ 三个数中至少有一个为0，这意味着 $x$，$3x$，$4x$，$5x$ 中至少有一个能写成 $k\cdot 180+90$ 的形式。注意到若 $x=k\cdot {{180}^{\circ}}+{{90}^{\circ }}$，则 $3x=\left( 3k+1 \right)\cdot 180+90$，故只需考虑 $3x$，$4x$，$5x$ 。结合 ${{100}^{\circ}}<x<{{200}^{\circ }}$ 可得到所有解为150，$112.5$，$157.5$，126，162，198，故所求和为 $150+112.5+157.5+126+162+198=906$ 。
答案
解析
备注
