数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
27
【解析】
已知条件 $\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3\right|$ 等价于 $x_{k}^{2}={{\left({{x}_{k-1}}+3 \right)}^{2}}$，即 $x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}=6{{x}_{k-1}}+9$ 。将此式对 $k=1,2,\ldots,2006$ 求和得 $x_{2007}^{2}-x_{0}^{2}=6\left({{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\cdots {{x}_{2006}} \right)+18063$，即
${{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{2006}}=\frac{x_{2007}^{2}-18063}{6}$ 。
由于 ${{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{2006}}$ 是整数，故 $x_{2007}^{2}\equiv18063\equiv 3\left( \bmod 6 \right)$，这说明 $x_{2007}^{2}\equiv 3\left(\bmod 6 \right)$ 。注意到 $129\equiv135\equiv 3\left( \bmod 6 \right)$，${{129}^{2}}=16641<18063<18225={{135}^{2}}$，且 $\left| {{135}^{2}}-18063\right|<\left| {{129}^{2}}-18063 \right|$ 。故当 $\left| {{x}_{2007}}\right|=135$ 时，$ \left|{{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{2006}} \right| $ 取到最小值 $ \left|\frac{{{135}^{2}}-18063}{6} \right|=27 $ 。事实上，这样的数列是存在的，例如，
$ {{x}_{1}}=-3 $，$ {{x}_{2}}=-6 $，…，$ {{x}_{1025}}=-3075 $，$ {{x}_{1026}}=3078 $，
$ {{x}_{1027}}\text{=}3075 $，$ {{x}_{1028}}=3072 $，…，$ {{x}_{2006}}=138 $，$ {{x}_{2007}}=135$ 。
${{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{2006}}=\frac{x_{2007}^{2}-18063}{6}$ 。
由于 ${{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{2006}}$ 是整数，故 $x_{2007}^{2}\equiv18063\equiv 3\left( \bmod 6 \right)$，这说明 $x_{2007}^{2}\equiv 3\left(\bmod 6 \right)$ 。注意到 $129\equiv135\equiv 3\left( \bmod 6 \right)$，${{129}^{2}}=16641<18063<18225={{135}^{2}}$，且 $\left| {{135}^{2}}-18063\right|<\left| {{129}^{2}}-18063 \right|$ 。故当 $\left| {{x}_{2007}}\right|=135$ 时，$ \left|{{x}_{0}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{2006}} \right| $ 取到最小值 $ \left|\frac{{{135}^{2}}-18063}{6} \right|=27 $ 。事实上，这样的数列是存在的，例如，
$ {{x}_{1}}=-3 $，$ {{x}_{2}}=-6 $，…，$ {{x}_{1025}}=-3075 $，$ {{x}_{1026}}=3078 $，
$ {{x}_{1027}}\text{=}3075 $，$ {{x}_{1028}}=3072 $，…，$ {{x}_{2006}}=138 $，$ {{x}_{2007}}=135$ 。
答案
解析
备注
