对每个正偶数 $x$，定义 $g\left( x \right)$ 为 $x$ 的约数中2的最高次幂。例如，$g\left( 20 \right)=4$，$g\left( 16 \right)=16$ 。对任意正整数 $n$，记 $\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{g}\left( 2k \right)$ 。试求小于1000且使的 ${{S}_{n}}$ 为完全平方数的最大正整数 $n$ 。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
899
【解析】
由题意知 ${{S}_{n}}$ 等于 ${{2}^{n-1}}$ 个连续偶数2，4，6，…，${{2}^{n}}$ 的约数中2的最高次幂的和。在这些熟中，有 ${{2}^{n-2}}$ 个被2整除儿不被4整除，有 ${{2}^{n-3}}$ 个被4整除而不被8整除……有 ${{2}^{0}}$ 个被 ${{2}^{n-1}}$ 整除而不被 ${{2}^{n}}$ 整除，有且仅有 ${{2}^{n}}$ 被 ${{2}^{n}}$ 整除，因而
${{S}_{n}}=2\cdot{{2}^{n-2}}+{{2}^{2}}\cdot {{2}^{n-3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}\cdot{{2}^{0}}+{{2}^{n}}=\left( n+1 \right){{2}^{n-1}}$ 。
如果到注意 ${{S}_{n}}=\left(n+1 \right){{2}^{n-1}}$ 。是一个完全平方数，则 $n$ 必须是奇数，这是因为如果 $n$ 是偶数，那么 ${{S}_{n}}$ 的素因数分解式中2的幂为 $n-1$，是一个奇数，从而 ${{S}_{n}}$ 不会完全平方数。现在设 $n$ 是奇数，则 ${{2}^{n-1}}$ 已是完全平方数，故 $n+1$ 必须是一个完全平方数。由于 $n+1$ 是偶数，则 $n+1$ 必须是一个偶数的平方。因为 ${{32}^{2}}=1024>1000$，所以 $n+1\leqslant {{30}^{2}}$，既满足条件的最大正整数 $n$ 为899。
${{S}_{n}}=2\cdot{{2}^{n-2}}+{{2}^{2}}\cdot {{2}^{n-3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}\cdot{{2}^{0}}+{{2}^{n}}=\left( n+1 \right){{2}^{n-1}}$ 。
如果到注意 ${{S}_{n}}=\left(n+1 \right){{2}^{n-1}}$ 。是一个完全平方数，则 $n$ 必须是奇数，这是因为如果 $n$ 是偶数，那么 ${{S}_{n}}$ 的素因数分解式中2的幂为 $n-1$，是一个奇数，从而 ${{S}_{n}}$ 不会完全平方数。现在设 $n$ 是奇数，则 ${{2}^{n-1}}$ 已是完全平方数，故 $n+1$ 必须是一个完全平方数。由于 $n+1$ 是偶数，则 $n+1$ 必须是一个偶数的平方。因为 ${{32}^{2}}=1024>1000$，所以 $n+1\leqslant {{30}^{2}}$，既满足条件的最大正整数 $n$ 为899。
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