实数 $\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ 可写成 $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}$ 的形成式，其中 $a, b, c$ 是正整数，试求 $abc$ 。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
936
【解析】
根据题意得 ${{\left( a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}\right)}^{2}}=104\sqrt{6}+468\sqrt{10+}144\sqrt{15}+2066$，即
$2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}+2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}$
$\text{=}104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006$ 。
因此 $2ab=104$，$2ac=468$，$2bc=144$，$2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}=2006$ 。故
$abc=\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}=\sqrt{\frac{104}{2}\cdot\frac{468}{2}\cdot \frac{144}{2}}=\sqrt{\left( {{2}^{2}}\cdot 13 \right)\cdot\left( 2\cdot {{3}^{2}}\cdot 13 \right)\left( {{2}^{3}}\cdot {{3}^{2}}\right)}$
$\text{=}{{2}^{3}}\cdot{{3}^{2}}\cdot 13=936$ 。
因此所求为 $936$ 。
$2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}+2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}$
$\text{=}104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006$ 。
因此 $2ab=104$，$2ac=468$，$2bc=144$，$2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}=2006$ 。故
$abc=\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}=\sqrt{\frac{104}{2}\cdot\frac{468}{2}\cdot \frac{144}{2}}=\sqrt{\left( {{2}^{2}}\cdot 13 \right)\cdot\left( 2\cdot {{3}^{2}}\cdot 13 \right)\left( {{2}^{3}}\cdot {{3}^{2}}\right)}$
$\text{=}{{2}^{3}}\cdot{{3}^{2}}\cdot 13=936$ 。
因此所求为 $936$ 。
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解析
备注
