令 $S$ 是表示形如0。 $\overline{abc}$ 循环小数的实数集，其中 $a b c$ 是各不相同的数码，试求 $S$ 中所有元素的和。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
360
【解析】
对任何一个数字 $x$，用 ${x}'$ 表示 $9-x$，如果0。 $\overline{abc}$ 是 $S$ 中的一个元素，那么0。 $\overline{{a}'{b}'{c}'}$ 同样在 $S$ 中，与0。 $\overline{abc}$ 不相等且0。 $\overline{abc}+0$ 。 $\overline{{a}'{b}'{c}'}\text{=}0$ 。 $\overline{999}\text{=}1$ 。
这说明 $S$ 可以划分成这样的一对对元素，每对元素相加等于1。因为 $S$ 有 $10\cdot 9\cdot 8\cdot\text{=}720$ 个元素，所以 $S$ 中所有元素的和为 $\frac{1}{2}\cdot 720=360$ 。
这说明 $S$ 可以划分成这样的一对对元素，每对元素相加等于1。因为 $S$ 有 $10\cdot 9\cdot 8\cdot\text{=}720$ 个元素，所以 $S$ 中所有元素的和为 $\frac{1}{2}\cdot 720=360$ 。
答案
解析
备注
