求方程 $\sqrt{1995}{{x}^{{{\log }_{{{1995}^{x}}}}}}={{x}^{2}}$ 的所有正根乘积的末三位数．
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
025
【解析】
由原方程取对数得
${{\log}_{1995}}\left( \sqrt{1995}{{x}^{{{\log }_{{{1995}^{x}}}}}} \right)={{\log}_{1995}}{{x}^{2}}$，${{\log }_{1995}}\sqrt{1995}+{{\left( {{\log }_{1995}}x\right)}^{2}}=2{{\log }_{1995}}x$，
即 ${{\left( {{\log}_{1995}}x \right)}^{2}}-2{{\log }_{1995}}x+\frac{1}{2}=0$．
解之得 ${{\log}_{1995}}x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以 ${{\log}_{1995}}{{x}_{1}}+{{\log }_{1995}}{{x}_{2}}=2$，即 ${{\log}_{1995}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=2$．
从而 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{1995}^{2}}={{\left(2000-5 \right)}^{2}}$，其最后三位数字为025．
${{\log}_{1995}}\left( \sqrt{1995}{{x}^{{{\log }_{{{1995}^{x}}}}}} \right)={{\log}_{1995}}{{x}^{2}}$，${{\log }_{1995}}\sqrt{1995}+{{\left( {{\log }_{1995}}x\right)}^{2}}=2{{\log }_{1995}}x$，
即 ${{\left( {{\log}_{1995}}x \right)}^{2}}-2{{\log }_{1995}}x+\frac{1}{2}=0$．
解之得 ${{\log}_{1995}}x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以 ${{\log}_{1995}}{{x}_{1}}+{{\log }_{1995}}{{x}_{2}}=2$，即 ${{\log}_{1995}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=2$．
从而 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{1995}^{2}}={{\left(2000-5 \right)}^{2}}$，其最后三位数字为025．
答案
解析
备注
