用94块大小尺寸均为 ${4}''\times 1{0}''\times 1{9}''$ 的砖，一块放在另一块的上面堆积成一个94块砖高的塔，每块砖可随意摆放为塔提供 ${4}''$ 或 $1{0}''$ 或 $1{9}''$ 的高度．若94块全部用上可摆放多少种不同高度的塔？
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
465
【解析】
设有 $x$ 块砖提供 $1{0}''$ 的高度，$y$ 块砖提供 $1{9}''$ 的高度，$x$，$y$ 都是非负整数，且 $x+y\leqslant 94$，则塔的高度为 $h=4\left( 94-x-y \right)+10x+19y$，即
$h=375+3\left(2x+5y \right)$．（4）
如果 $x\geqslant 5$，则将 $x$ 换成 $x-5$，$y$ 换成 $y+2$，由（4）表示的塔高取同样值，并且 $\left( x-5 \right)+\left( y+2 \right)\leqslant 94$．所以可以假定 $x\le4$．这时相同的 $x$，不同的 $y$ 表示的塔高 $h$ 显然不同．如果 $x$ 取不同值 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ $\left( 0\leqslant {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\leqslant 4 \right)$，那么对任意的 ${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，
$\left(2{{x}_{2}}+5{{y}_{2}} \right)-\left( 2{{x}_{1}}+5{{y}_{1}} \right)=2\left({{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+5\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)$（5）
前一项不被5整除，后一项被5整除，所以（5）不为0，即相应于 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ 的塔高不同．
当 $x=0$，1，2，3，4时，$y$ 分别有 $95\left(0-94 \right)$，$94$，93，92，91种取法，所得的塔高均不同．所以共有 $95+94+93+92+91=465$ 种不同高度的塔．
$h=375+3\left(2x+5y \right)$．（4）
如果 $x\geqslant 5$，则将 $x$ 换成 $x-5$，$y$ 换成 $y+2$，由（4）表示的塔高取同样值，并且 $\left( x-5 \right)+\left( y+2 \right)\leqslant 94$．所以可以假定 $x\le4$．这时相同的 $x$，不同的 $y$ 表示的塔高 $h$ 显然不同．如果 $x$ 取不同值 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ $\left( 0\leqslant {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\leqslant 4 \right)$，那么对任意的 ${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，
$\left(2{{x}_{2}}+5{{y}_{2}} \right)-\left( 2{{x}_{1}}+5{{y}_{1}} \right)=2\left({{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+5\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)$（5）
前一项不被5整除，后一项被5整除，所以（5）不为0，即相应于 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$ 的塔高不同．
当 $x=0$，1，2，3，4时，$y$ 分别有 $95\left(0-94 \right)$，$94$，93，92，91种取法，所得的塔高均不同．所以共有 $95+94+93+92+91=465$ 种不同高度的塔．
答案
解析
备注
