在坐标平面上一物体从 $\left( 0, 0 \right)$ 出发，逐步移动，每一步的长度都是1，每一步等可能地向上、下、左、右中的任一方向移动．设 $p$ 是物体用不多于6步就从 $\left( 0, 0 \right)$ 到达 $\left( 2, 2 \right)$ 的概率．$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
67
【解析】
到达 $\left( 2, 2 \right)$ 需4步或6步．
4步到达需两次以上，两次右，顺序不限，有 $\frac{4!}{2!2!}$ 种，概率为 $\frac{4!}{2!2!}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}$；
6步到达有两类情况，一类一下三上两右，另一类一左三右两上．概率为
$2\times\frac{6!}{1!3!2!}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{6}}$；
4步到达后再走两步仍回到 $\left( 2 2 \right)$ 的概率为 $\frac{4!}{2!2!}\times{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}\times 4\times {{\left( \frac{1}{4}\right)}^{2}}$；
所以 $p=\frac{4!}{2!2!}\times{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}+2\times \frac{6!}{1!3!2!}\times {{\left(\frac{1}{4} \right)}^{6}}-\frac{4!}{2!2!}\times {{\left( \frac{1}{4}\right)}^{4}}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{3}{64}$．
4步到达需两次以上，两次右，顺序不限，有 $\frac{4!}{2!2!}$ 种，概率为 $\frac{4!}{2!2!}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}$；
6步到达有两类情况，一类一下三上两右，另一类一左三右两上．概率为
$2\times\frac{6!}{1!3!2!}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{6}}$；
4步到达后再走两步仍回到 $\left( 2 2 \right)$ 的概率为 $\frac{4!}{2!2!}\times{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}\times 4\times {{\left( \frac{1}{4}\right)}^{2}}$；
所以 $p=\frac{4!}{2!2!}\times{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}+2\times \frac{6!}{1!3!2!}\times {{\left(\frac{1}{4} \right)}^{6}}-\frac{4!}{2!2!}\times {{\left( \frac{1}{4}\right)}^{4}}\times {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{3}{64}$．
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解析
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