一个三角形状的纸片 $ABC$ 和其上一点 $P$，考虑将 $A$，$B$，$C$ 折在点 $P$ 上所形成的抓痕，如果三条折痕互不相交，我们称 $P$ 为 $\vartriangle ABC$ 的一个折叠点．如果 $AB=36$，$AC=72$，$\angle B=90{}^\circ $，且由 $\vartriangle ABC$ 折叠点所形成的集合面积具有 $q\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-r\sqrt{s}$ 的形式，其中 $q$，$r$ 和 $s$ 均为正整数且 $s$ 没有平方因子．求 $q+r+s$．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
597
【解析】
先来证明 $\vartriangle ABC$ 的折叠点所构成的集合是以 $AB$，$BC$ 为直径的圆的内部的公共部分．
为此需证明，由顶点 $A$ 和 $B$ 折叠在 $P$ 上所形成的抓痕不交的充要条件是 $P$ 位于以 $AB$ 为直径的圆的内部．
事实上．由任一点 $Q$ 折到 $P$ 上所形成的折痕是 $PQ$ 的垂直平分线的一部分．若 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆外，那么 $\vartriangle PAB$ 是锐角三角形，因为 $\angle P$ 是锐角，$\angle PAB$ 和 $\angle PBA$ 分别不超过 $60{}^\circ $ 和 $90{}^\circ $，所以，$\vartriangle PAB$ 的外心在三角形的内部，则折痕相交；若 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆内，那么 $PA$ 和 $PB$ 中垂线交点与 $P$ 被 $AB$ 分开．所以，折痕不在 $\vartriangle ABC$ 内部相交；若 $P$ 在圆上，则折痕在 $AB$ 上相交．
类似地讨论用于以 $BC$ 为直径的圆和以 $AC$ 为直径的圆．
注意到 $\vartriangle ABC$ 的所有内点都在以 $AC$ 为直径的圆内，所以三角形的折叠点所构成的集合是三角形内点和以 $AB$，$BC$ 为直径的圆的内点的公共部分．
下面来求这个公共部分的面积．
如图所示，以 $BC$，$AB$ 为直径的两圆都与 $AC$ 交于 $D$（$D$ 是 $B$ 到 $AC$ 的垂足）．题目所求的部分是两段圆弧所围的部分．一个是以 $AB$ 中点 $M$ 为圆心，以18为半径的 $120{}^\circ$ 的弧．另一个是以 $BC$ 中点 $N$ 为圆心，以 $18\sqrt{3}$ 为半径的 $60{}^\circ $ 的弧．
则 $\vartriangle DBM$ 和 $\vartriangle DBN$ 的面积分别为 $81\sqrt{3}$ 和 $243\sqrt{3}$，扇形 $DMB$ 和 $DNB$ 的面积分别为 $108\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ 和 $162\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$．所求部分的面积是
$\left(108\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+162\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)-\left(81\sqrt{3}+243\sqrt{3} \right)=270\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-324\sqrt{3}$．
从而，$q+r+s=270+324+3=597$．
为此需证明，由顶点 $A$ 和 $B$ 折叠在 $P$ 上所形成的抓痕不交的充要条件是 $P$ 位于以 $AB$ 为直径的圆的内部．
事实上．由任一点 $Q$ 折到 $P$ 上所形成的折痕是 $PQ$ 的垂直平分线的一部分．若 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆外，那么 $\vartriangle PAB$ 是锐角三角形，因为 $\angle P$ 是锐角，$\angle PAB$ 和 $\angle PBA$ 分别不超过 $60{}^\circ $ 和 $90{}^\circ $，所以，$\vartriangle PAB$ 的外心在三角形的内部，则折痕相交；若 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆内，那么 $PA$ 和 $PB$ 中垂线交点与 $P$ 被 $AB$ 分开．所以，折痕不在 $\vartriangle ABC$ 内部相交；若 $P$ 在圆上，则折痕在 $AB$ 上相交．
类似地讨论用于以 $BC$ 为直径的圆和以 $AC$ 为直径的圆．
注意到 $\vartriangle ABC$ 的所有内点都在以 $AC$ 为直径的圆内，所以三角形的折叠点所构成的集合是三角形内点和以 $AB$，$BC$ 为直径的圆的内点的公共部分．
下面来求这个公共部分的面积．
如图所示，以 $BC$，$AB$ 为直径的两圆都与 $AC$ 交于 $D$（$D$ 是 $B$ 到 $AC$ 的垂足）．题目所求的部分是两段圆弧所围的部分．一个是以 $AB$ 中点 $M$ 为圆心，以18为半径的 $120{}^\circ$ 的弧．另一个是以 $BC$ 中点 $N$ 为圆心，以 $18\sqrt{3}$ 为半径的 $60{}^\circ $ 的弧．
则 $\vartriangle DBM$ 和 $\vartriangle DBN$ 的面积分别为 $81\sqrt{3}$ 和 $243\sqrt{3}$，扇形 $DMB$ 和 $DNB$ 的面积分别为 $108\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ 和 $162\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$．所求部分的面积是
$\left(108\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+162\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)-\left(81\sqrt{3}+243\sqrt{3} \right)=270\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-324\sqrt{3}$．
从而，$q+r+s=270+324+3=597$．
答案
解析
备注
